Punto fijo

Axioma del supremo
Definición: Sea S un conjunto no vacío de números reales, supongamos que existe un b tal que x ≤ b, ∀ x ∈ S, entonces decimos que S está acotado superiormente y que b es unacota superior de S.
Definición: Si b es una cota superior y
pertenece al conjunto, diremos que b es
el máximo de S.
Definición: Diremos que b es el supremo
del conjunto S cuando:
1) b es cotasuperior.
2) ) b es la menor de las cotas superiores.
Definición: Sea S un conjunto no vacío de números reales, supongamos que existe un b tal que b ≤ x, ∀x ∈ S, entonces decimos que S estáacotado inferiormente y que b es una
cota inferior de S.

Definición: Si b es una cota inferior y
pertenece al conjunto, diremos que b es
el mínimo de S.
Definición: Diremos que b es el ínfimo delconjunto S cuando:
1) b es cota inferior.
2) b es la mayor de las cotas
inferiores.
Observaciones
1. Un conjunto S ⊂ , o bien no tiene
ninguna cota superior, o bien tiene
infinitas.
2. Siexiste el máximo de un conjunto,
éste es el supremo. Lo mismo con el
mínimo.
3. El máximo ó el mínimo de un conjunto acotado no siempre existen.
Axioma del supremo: Todo conjunto no
vacío de númerosreales, acotado
superiormente, tiene supremo, es decir,
∃ b ∈ R tal que b = sup S.
Lo mismo para el ínfimo.
Consecuencias del axioma del
supremo
1. Propiedad Arquimediana
Teorema: Si x ∈ R,entonces existe un
nx ∈ ℕ / x < nx
2. Densidad de los racionales en los
reales.
Teorema: Si x e y son dos númeos reales
con x < y, entonces existe un número
racional r tal que x < r< y.
Es mas existen infinitos racionales.
3. Densidad de los irracionales en los
reales.
Teorema: Si x e y son dos númeos reales
con x < y, entonces existe un número
irracional z tal que x< z < y.
1.3.1 LA LEY DE TRICOTOMIA
Esta ley establece que si x e y pertenecen aR, que es un conjunto ordenado se puede afirmar de forma precisa si x es de mayor que, menor que, o igual al...