Punto fijo

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Ingenier´ Civil ıa ´ Metodo del Punto Fijo Mg. Ana L. Gamarra Carrasco Instrucciones: Resolver los ejercicios siguientes y presentarlos.

M´todo del Punto Fijo e

1.- Demostrar que cada una delas funciones siguientes tiene un punto fijo en ”p”, precisamente cuando f (p) = 0, donde: f (x) = x4 + 2x2 − x − 3 a.- g1 = (3 + x − 2x2 )1/4 b.- g2 = ( x+3−x )1/2 2
x+3 c.- g3 = ( x2 +2 )1/2
4d.- g4 = ( 3x 3+2x +3 ) 4x +4x−1 1.1.- Efectu´ iteraciones, en cada una de las funciones definidas en (1). Tome P0 = 1. e 1.2.- ¿Qu´ condiciones cree usted da la mejor aproximaci´n a la soluci´n? e o o2.- Use el m´todo de iteraci´n del unto fijo para determinar una soluci´n exacta a la 10−2 , e o o para 2 sin(πx) + x = 0 en [1, 2] Use P0 = 1 3.- Encontrar una soluci´n de la ecuaci´n: o o ex−1 −1.5x = 0 Utilice el m´todo del punto fijo. Tome x0 = 0.5 e 4.- Se considera la ecuaci´n x3 + 2x2 + 10x = 20 y los esquemas equivalentes de punto fijo o a.- x =
20−2x2 −x3 10

4

2

b.- x =

20x2 +2x+10

i.- Probar que la ecuaci´n de partida tiene una ra´ en el intervalo (1, 2). o ız ii.- Estudiar la convergencia a dicha ra´ de las iteraciones correspondientes a (a) y ız (b) con x0 ∈ [1,2]. 5.- Se considera e polinomio P (x) = x3 − x2 − x − 1 a.- Demostrar que P tiene una unica ra´ positiva. ´ ız b.- Encontrar un intervalo y una funci´n con los que se pueda utilizar el M´todo de o ePunto Fijo para dar una aproximaci´n a dicha ra´ o ız. 6.- Aplicar el M´todo del Punto Fijo para aproximar la menor ra´ positiva de la ecuaci´n: e ız o cos(x) + 3x2 − 6x = 0 determinando unasucesi´n que converja a dicha ra´ y justificando las hip´tesis de la o ız o convergencia. Ejercicios
1

UPAO

Ingenier´ Civil ıa

M´todo del Punto Fijo e

7.- Analizar el M´todo de Punto Fijo paraaproximar una ra´ ξ de la ecuaci´n e ız o x2 + sin(x) −1=0 2

en el intervalo [0, π/2] demostrando las hip´tesis de convergencia del m´todo y detero e minar una sucesi´n xn que converja a ξ o 8.-...
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