Movimiento de los planetas

1. Movimiento de planetas y satélites
Velocidad orbital de un satélite

Supongamos que hay una partícula de masa m con trayectoria alrededor de la tierra circular de radio r.
Suponemos que la Tierra está quieta, m lleva velocidad v y no gasta combustible.
Fc = m.ac = m.v²/r.
OJO: La ac no depende de la masa, otro cuerpo de masa m` tendría la misma.
Todas las masas en la misma órbitatienen la misma velocidad lineal.
La fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra es F = G.MT.m/r².
Es la misma fuerza vista desde dos puntos de vista distintos.
G.MT.m/r² = m.v²/r
v² = G.MT/r
y por tanto


Energía Total

Se llama energía total a la que tiene una masa o satélite que órbita alrededor de la tierra.
Es la suma de la Ec y de la Ep.
Ep = -G.MT.m/r
Ec = (1/2).m.v² =(1/2).m.G.MT/r = G.MT.m/2.r
La energía total es la suma de las dos energías:
ET = (G.MT.m/r).(-1 + ½) = -G.MT.m/2.r
Esta es la energía necesaria para que un satélite esté en órbita.
Es negativa e igual a la mitad del valor de la energía potencial. El signo menos corresponde a orbitas cerradas de objetos que no tienen energía suficiente para escapar de la atracción terrestre.
Cuando un satélite cambiade órbita en ausencia de fuerzas exteriores su Energía mecánica se conserva.
EcA + EpA = EcB + EpB
Entonces si lanzamos el satélite desde la superficie de la tierra ya tiene una cierta energía potencial
Eco + Epo = Ecf + Epf
Eco – G.MT.m/RT = -G.MT.m/2.r
y por tanto
Eco = -G.MT.m/2.r + G.MT.m/RT
Eco = G.MT.m.(1/RT – ½.r)
Esto se conoce como energía de satelización.
Si queremos calcularla velocidad inicial necesaria para llegar a esa órbita
(1/2).m.v0² = G.MT.m.(1/RT – ½.r)
y por tanto

Velocidad de escape
Es la velocidad que hay que comunicar a un cuerpo de masa m situado sobre la superficie del planeta para que pueda escapar del campo gravitatorio e irse al ∞.
En el ∞ la EM= 0 ya que hemos dicho que la Ep= 0 y la velocidad con la que llega es 0, por tanto Ec + Ep = 0.Por tanto:
(1/2).m.v0² - G.MT.m./RT = 0
(1/2).m.v0² = G.MT.m./RT
v0² = 2.G.MT./RT

Se puede escribir:
go = G.MT/RT²


Satélites geoestacionarios
Un satélite se llama geoestacionario cuando se encuentra siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre, es decir, recorre toda su orbita en el tiempo que la tierra hace una rotación completa (24 h)
Aplicando la 3º ley de Kepler:Si sustituimos los datos:
T = 24 h = 86400 s
G = 6,67 • 10-11 Nm²/kg² el valor de r = 4,2 • 107 m
MT= 5,97 • 1024 kg
También puede calcularse r igualando la Fc a la fuerza de Newton m.ω².r = G.M.m/r² y despejar r
Como RT = 6370 • 10³ m  h = r – RT = 35863. Altura de la órbita.
Son órbitas de altitudes elevadas y no obtienen imágenes de alta resolución de la Tierra. Son órbitasecuatoriales y se usan para aplicaciones meteorológicas y de comunicaciones. Las órbitas de baja altitud (600 a 1200 km) se llaman heliosincronas (orientación fija respecto al Sol). Se usan para observación de la Tierra.

2. Teoría de la gravitación universal.
La naturaleza cuadrático inversa de la fuerza centrípetra para el caso de órbitas circulares, puede deducirse fácilmente de la tercera ley deKepler sobre el movimiento planetario y de la dinámica del movimiento circular uniforme:
1. Según la tercera ley de Kepler el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse, que en el caso de la circunferencia es su propio radio, P2=kr3.
2. La dinámica del movimiento circular uniforme, nos dice que en una trayectoria circular la fuerza es igual al producto de lamasa por la aceleración normal, F= mv2/r.
3. El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa es el cociente entre la longitud de la circunferencia y la velocidad, P=2p r/v.

Combinando estas expresiones, obtenemos

Vemos que la fuerza F que actúa sobre el planeta en órbita circular es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r desde el centro de fuerzas al centro...