Movimiento oscilatorio

12.8 Superposición de dos MAS: Igual dirección, diferente frecuencia
El caso en el cual dos movimientos armónicos simples en la misma dirección pero con diferente frecuencia interfieren tiene también importancia. Consideremos por simplicidad, el caso en el cual α
α1=0 y α2=0; Entonces los movimientos están descritos por las ecuaciones x1=A1 sen ω1t y x2= A2 sen ω2t .

El ánguloentre los vectores rotantes OP'2 y OP'1 es ahora ω1t- ω2t=ω1- ω2t , y no es constante.
Por ello, el vector resultante OP' no tiene longitud constante y no rota con velocidad angular constante. En consecuencia, el movimiento resultante, x = xx + x2 no es armónico simple. Sin embargo, como observamos de la Fig. 12-18, la "amplitud" del movimiento es

A= A21+ A22 +2A1A2 COS ω1- ω2t

y"oscila" entre los valores A = A1 + A2 [cuando ω1- ω2t =2 n π] y A = |A1—A2| [cuando ω1- ω2t = 2 n π+ π ]. Se dice entonces que la amplitud es modulada. La frecuencia de la amplitud de oscilación se expresa por
Y=ω1- ω2 |2 π v1 - v2

y es igual a la diferencia de las frecuencias de los movimientos que interfieren.

12.8) Superposición de dos MAS: Igual dirección, diferente frecuencia

Fig.12-18. Composición de dos MAS Fig. 12-19 Fluctuación en amplitud o pulsaciones.
De diferentes Frecuencias.

La Fig. 12-19 muestra la variación de A con t La situación descrita tiene lugar cuando, por ejemplo, dos vibradores de frecuencia muy próximos están vibrando simultáneamente en lugares muy cercanos. Se observa una fluctuación en la intensidad de los sonidos,llamadas pulsaciones, que se deben al cambio en la amplitud α, como se ilustra en la Fig. 12-19
Una situación interesante ocurre cuando A1 = A2, esto es, cuando las dos amplitudes son iguales. Entonces usando la ec. (M.7) obtenemos

X=x1+ x2= A1(sen ω1t+ ω2t)
=2A1cos12 ω1- ω2t sen12 ω1+ ω2

Indicando que el movimiento es oscilatorio con frecuencia angular 12 ω1+ ω2 y amplitudA=2A1cos12 ω1- ω2 t

Fig. 12-20. Pulsaciones cuando las dos amplitudes son iguales.

Este resultado puede obtenerse directamente de la ec. (12.26) haciendo A2 = A1 El gráfico de x en función del tiempo t se ilustra en la Fig. 12-20, en la cual la línea punteada muestra la modulación de la amplitud.

12.9 Superposición de dos MAS: direcciones perpendiculares
Consideremos ahora el caso en el queuna partícula se mueve en un plano de tal modo que sus coordenadas x e y oscilan con movimiento armónico simple. Examinaremos primero el caso en el que los dos movimientos tienen la misma frecuencia. Escogiendo nuestro origen del tiempo de modo que la fase inicial del movimiento a lo largo del eje X sea cero, tenemos para la coordenada x.

x = A sen ωt

El movimiento a lo largo del eje Y esdescrito por la ecuación

y = B sen (ωt + δ),
Donde δ es ahora la diferencia de fase entre las oscilaciones x e y. Nosotros hemos supuesto que las amplitudes A y B son diferentes. La trayectoria de la partícula está obviamente limitada por las líneas x = ± A e y = ± B.

Consideraremos ahora algunos casos especiales. Si los dos movimientos están en fase, δ = 0 e y = B sen ωt que puedencombinarse con la ec. (12.30) para dar

y=BAx

Esta es la ecuación de la línea recta PQ en la Fig. 12-21, y el movimiento que resulta es armónico simple, con amplitud A2 + B2, debido a que el desplazamiento a lo largo de la línea PQ Es

r= x2+y2 = A2+B2 sen ωt

Si los movimientos están en oposición, δ = = π e y = — B sen ωt . Combinado con la ec. (12.30), esto da
y= -BA xFig. 12-21. Composición de dos MAS de la misma
Frecuencia pero en direcciones perpendiculares.
La trayectoria depende de la diferencia de fase.

La cual es la ecuación de la línea recta RS. El movimiento es nuevamente armónico simple con amplitudA2+B2 . Entonces decimos que cuando δ = 0 ó π, la interferencia de los movimientos armónicos simples perpendiculares de la misma frecuencia da...