Movimiento Proyectiles

Movimiento de proyectiles |
Física I |
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Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleración gravitacional y la resistencia del aire, por ejemplo una pelota bateada o un paquete soltado desde un avión.
Para analizar este tipo de movimiento, partiremos de un modelo idealizado querepresenta al proyectil como una partícula con aceleración constante tanto en magnitud como en dirección, en este caso la gravedad. En la primera parte del análisis despreciaremos los efectos de la resistencia del aire.
El movimiento de un proyectil siempre está limitado a un plano vertical determinado por la dirección de la velocidad inicial. La razón es que aceleración debida a la gravedad esexclusivamente vertical. Por lo tanto, este movimiento es bidimensional, llamaremos al plano de movimiento, el plano de coordenadas xy, con el eje x horizontal y el eje y vertical, hacia arriba.
Analizaremos este tipo de movimiento como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante.

Para analizar el movimiento, lo haremostomando como ejemplo las pelotas, que son lanzadas por un cañón con una velocidad inicial .
Sea x0,y0 el punto de lanzamiento, además de y positiva hacia arriba y x positiva hacia la derecha. Las componentes de la velocidad inicial son:
vx0=vocosθ0
vy0=vosenθ0
En ausencia de la resistencia del aire, la aceleración es la gravedad, dirigida verticalmente hacia abajo
ax=0 ay=-g
Como laaceleración es constante, podemos utilizar las ecuaciones cinemáticas sacadas en clase. La componente x de la velocidad es constante, ya que no existe aceleración horizontal y la componente y varía con el tiempo, con a=-g.
vx=vx0
vy=vy0-gt
Como ya hemos dicho anteriormente, seguimos estudiando las componentes por separado, en este caso para averiguar el recorrido que siguen.
xt=x0+vx0tyt=y0+vy0t-12gt2
La ecuación general de la trayectoria y(x) se puede obtener a partir de las ecuaciones anteriores, eliminando la variable t de ambas. Siendo x0=y0=0 y se obtiene que t=xvx0, que resulta:
yx=tagθ0x-g2v02cos2θ0

En el caso especial en el que las elevaciones iníciales y finales sean iguales, pueden deducirse una formula general para hallar el alcance y la altura máxima de lapelota en función de su velocidad inicial y el ángulo de proyección. En primer lugar sacaremos la ecuación del alcance, al igual que hemos estado haciendo hasta ahora, el alcance(R) se obtiene multiplicando la componente x de la velocidad por el tiempo total que la pelota está en el aire, el cual lo sacamos de la función y(t), al igualar a 0:
yt=vy0t-12gt2=0 ⇒ t=2vy0g=2v0gsenθ0R=vx0t=v0cosθ02v0gsenθ0=2v02gsenθ0cosθ0

Utilizando la expresión trigonométrica de sen 2β=2 sen βcosβ. Conseguimos:
R=v02g sen2θ0
Es importante destacar que esta ecuación muestra como el alcance depende de θ. Como el valor máximo de sen 2θ es 1, cuando 2θ= 90°, o sea, θ=45°, el alcance del proyectil es máximo cuando θ=45°.
En el caso de la altura máxima (h), la velocidad en ese punto es vy=0 :
vy=vosenθ0-gt⇒ t=vosenθ0g
h=vy0t-12gt2= vosenθ0vosenθ0g-12gvosenθ0g2=v02sen2θ02g

Estas ecuaciones eran cuando la altura inicial y final era la misma, pero si no es así lo único que tenemos que tener en cuenta que y0≠0.
Para finalizar el análisis del movimiento de proyectiles, estudiaremos el movimiento sin despreciar la resistencia del aire. Un proyectil viaja por el aire que es un fluido,anteriormente hemos estudiado un caso idealizado despreciando tal resistencia. La resistencia de un fluido, es la fuerza que un fluido, en este caso el aire, ejerce sobre un cuerpo que se mueve a través de él. El cuerpo en movimiento ejerce una fuerza sobre el fluido para hacerlo a un lado. Por la 3ª ley de Newton, el fluido responde sobre el cuerpo con una fuerza igual y opuesta.
La dirección de la...