Movimiento Rectilíneo

Movimiento Rectilíneo
Introducción
La derivada tiene una interpretación física importante conocida como la tasa
de variación ( o razón de cambio) instantánea.
Iniciaremos este estudio considerando el movimiento de una partícula sobre
una recta. Dicho movimiento recibe el nombre de movimiento rectilíneo; dado
que, la trayectoria del móvil se da sobre una línea recta. Este movimiento se
define porcompleto si se conoce su posición en el espacio en cualquier instante.
Considere una partícula que se mueve a lo largo del eje S desde un punto P
hasta un punto Q. Supóngase que su posición en el punto P es S(t) en algún
instante t y su posición en el punto Q es S( t + ∆t) en el instante t + ∆t. En
instantes diferentes a t y t + ∆t, la posición de la partícula entre estos dos
pontos puede variarcomo se muestra a continuación.
s ( t+ ∆t)
s (t)
t

t + ∆t

t

El cambio S desde el tiempo t hasta el tiempo t + ∆t, es el incremento
∆S = S( t + ∆ t ) - S ( t ).
Llamaremos velocidad media

a la razón de cambio ∆S en S con respecto a la

razón de cambio ∆t en t.

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Observaciones:
i) La velocidad media tiene las dimensiones de longitud dividida entre el tiempo,
o seam/s en unidades SI, y ft/s, en el sistema inglés para ingeniería.
ii) La velocidad media es independiente de la trayectoria seguida entre los
puntos P y Q.
iii) La velocidad media es proporcional al desplazamiento, el cual depende
únicamente de S(t) y S( t + ∆t) .
iv) Si una partícula sale de algún punto y regresa al mismo punto siguiendo
cualquier trayectoria, entonces su velocidad media en eserecorrido es cero, ya
que su desplazamiento a lo largo de la trayectoria es cero.
v) No debe confundirse el desplazamiento con la distancia, dado que la
distancia recorrida para cualquier movimiento es claramente distinta de cero.
vi) La velocidad media no proporciona detalle alguno del movimiento entre los
puntos P y Q en cualquier instante.
vii) La velocidad media no es constante.
Ejemplo 1 : Unapartícula que se mueve a lo largo del eje S de acuerdo con la
función S (t) = t

2

+ 2t - 3, la cual está localizada en s = -3 m; cuando t = 0; en

s = 0 para t = 1; en s = 5 m cuando t = 2 seg. y s = 12 m cuando t = 3 seg.
Halle su desplazamiento y la velocidad media durante t = 1 y t = 3; t = 0 y t = 2
Solución:
t=0

t=1

t=2

t =3

s
-3

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0

5

12

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Eldesplazamiento entre t = 1 y t = 3 es ∆S = 12 - 0 = 12 m, la velocidad media
es
El desplazamiento entre t = 0 y t = 2 es ∆S = 5 + 3 = 8 m, la velocidad media es
.

Velocidad instantánea.
Para calcular la velocidad de una partícula en un instante de un tiempo
particular o en algún punto específico sobre la gráfica espacio - tiempo se
utiliza la velocidad instantánea. La cual contrasta con la velocidad mediaque es
aquella que calcula la velocidad sobre un intervalo de tiempo.
Considere el movimiento de una partícula entre los puntos P y Q sobre la
gráfica que se muestra a continuación.

Q

S ( t + ∆t )

S (t)

P
∆t
∆t

t

t + ∆t
∆t

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A medida que el punto Q se aproxima más y más al punto P, ∆t se hace más
pequeño. Observe que la velocidad media está presente en cadaintervalo de
tiempo conforme Q se aproxima a P, sin embargo, cuando Q está
infinitesimalmente próximo a P, entonces ∆t se hace infinitesimalmente
pequeño, haciendo que las líneas se aproximen a la recta tangente a la curva en
el punto P. La pendiente de la tangente a la curva en el punto P, se define como
la velocidad instantánea. En otras palabras.
La velocidad instantánea v es igual al valor límitede la razón

, cuando ∆t

tiende a cero.

En notación del cálculo, este límite se llama la derivada de S con respecto al
tiempo.
Observación: La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero.

v=0
S (t)
v0

v0

t

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Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su
posición satisface la función de posición S = 2 t

2

- 12 t +...