MOVIMIENTOS EN EL PLANO. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS. APLICACIÓN AL ESTUDIO DE LAS TESELACIONES DEL PLANO. FRISOS Y MOSAICOS

TEMAS DE MATEMÁTICAS
(Oposiciones de Secundaria)
TEMA 41
MOVIMIENTOS EN EL PLANO. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS.
APLICACIÓN AL ESTUDIO DE LAS TESELACIONES DEL PLANO. FRISOS Y
MOSAICOS.
1. Introducción.
2. Conceptos Básicos.
3. Movimientos en el Plano.
3.1. Traslaciones.
3.2. Giros.
3.3. Simetrías.
3.3.1. Simetría Central.
3.3.2. Simetría Axial
4. Composición de Movimientos.
4.1. Producto de SimetríaAxial por Traslación.
4.2. Producto de Simetrías Axiales.
4.2.1. Ejes Paralelos.
4.2.2. Ejes no Paralelos.
4.3. Producto de Giros.
4.4. Producto de Simetrías Centrales.
4.5. Producto de una Traslación por un Giro.
4.6. Producto de un Giro por una Traslación.
5. Movimientos.
6. Teselaciones del Plano.
6.1. Frisos.
6.1.1. Tipos de Movimientos en los Frisos.
6.1.2. Clasificación de Frisos.
6.2.Mosaicos.
6.2.1. Tipos de Mosaicos.
Bibliografía Recomendada.

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TEMA 41
MOVIMIENTOS EN EL PLANO. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS.
APLICACIÓN AL ESTUDIO DE LAS TESELACIONES DEL PLANO. FRISOS Y
MOSAICOS.

1. INTRODUCCIÓN.
En este tema vamos a tratar un tipo particular de transformaciones en el plano:
aquellas que hacen corresponder a cada figura otra de igual forma y tamaño. Estas
transformacionesreciben el nombre de movimientos, y son aplicaciones biyectivas del
plano en sí mismo.
De los axiomas de movimiento también podemos deducir que son transformaciones
biyectivas del plano que conservan la alineación y el orden, y que transforman
segmentos y ángulos en otros iguales.
Para definir un movimiento es suficiente determinar las imágenes de dos puntos del
plano e indicar la clase del movimiento(directo o inverso). De esta manera, cualquier
otro punto del plano tiene determinada de forma unívoca su imagen. Recordemos que
una transformación es directa si conserva la orientación e inversa en caso contrario.
Los movimientos del plano que vamos a estudiar son las traslaciones, los giros y las
simetrías, y sus correspondientes composiciones.
2. CONCEPTOS BÁSICOS.
DEF Llamaremos Vector Fijo au par ordenado de puntos A y B. El punto A recibe el
nombre de Origen y el punto B de Extremo.
Un vector fijo es equivalente a un segmento dotado de orden.
Como características de los vectores vamos a definir la dirección, el sentido y el
módulo.
DEF Diremos que dos vectores fijos (A,B) y (C,D) tienen la misma dirección si están
situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.
DEF Diremosque dos vectores (A,B) y (C,D) con la misma dirección tienen el mismo
sentido si se verifica una de las dos condiciones siguientes:
a) Si los vectores están situados en rectas paralelas y trazamos la recta que pasa por
A y C (el origen de ambos vectores), los puntos extremos, B y D, están en el
mismo semiplano.
b) Si los vectores están situados en la misma recta, ambos tienen el mismo sentido
queun tercer vector con la misma dirección y situado en otra recta paralela.
DEF Dos vectores fijos (A,B) y (C,D) tienen el mismo módulo si los segmentos que
definen son iguales.

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Si definimos el conjunto de los vectores fijos del plano, podemos definir sobre dicho
conjunto una relación de equivalencia de la siguiente manera:
DEF Sean (A,B) y (C,D) dos vectores cualesquiera del conjunto de losvectores fijos
del plano. Diremos que dichos vectores están relacionados si y sólo si tienen la misma
dirección, sentido y módulo.
(A,B) ∼ (C,D) ⇔ (A,B) y (C,D) tienen igual dirección, sentido y módulo.
PROP La relación anterior es de equivalencia (también llamada de Equipolencia).
Dem.
Inmediata.
La relación de equivalencia, o equipolencia, que hemos definido sobre el conjunto
de los vectoresfijos del plano nos define un conjunto de clases de equivalencia. Cada
clase de equivalencia recibe el nombre de vector libre, y se representa mediante una
letra en minúscula con una flecha sobre ella, en contraposición con los vectores fijos,
que se representan por sus dos letras (origen y extremo por ese orden) con una flecha
sobre ambas letras.

[ ] {

vr = AB = XY / XY ~ AB

}

Los conjunto de...