movimientos ondulatorios

Cap´
ıtulo 7
ONDAS
7.1

Introducci´n
o

El estudio de las ondas constituye uno de los temas m´s apasionantes e importantes
a
de la F´
ısica Matem´tica, dada la relevancia del fen´meno ondulatorio en todas las
a
o
partes de la F´
ısica. Podr´
ıamos poner una infinidad de ejemplos de ondas, dentro del
campo de la Mec´nica, del Electromagnetismo, de la Mec´nica Cu´ntica, etc. As´
aa
a
ı,
el movimiento generado cuando cae una piedra sobre el agua de un estanque revela
la propagaci´n de ondas aproximadamente circulares en la superficie, el movimiento
o
de una cuerda de guitarra genera ondas sonoras, las ondas s´
ısmicas, etc, son casos
de ondas mec´nicas de diversa naturaleza. Dentro del Electromagnetismo, las ona
das han jugado un papel fundamental en los avancesrelacionados con los sistemas
de transmisi´n de informaci´n, dada la naturaleza ondulatoria del campo electroo
o
magn´tico en zonas del espacio donde no existen densidades de carga ni corrientes.
e
En Mec´nica Cu´ntica, el estado de un sistema est´ descrito por una funci´n, dea
a
a
o
nominada funci´n de onda; esta funci´n es soluci´n de una ecuaci´n de onda muy
o
o
o
o
conocida: laecuaci´n de Schr¨dinger.
o
o
Todos estos ejemplos muestran la aparici´n del fen´meno ondulatorio en situao
o
ciones de distinta naturaleza, pero con un denominador com´n que las caracteriza.
u
Esta caracter´
ıstica com´ n, hablando inevitablemente de forma imprecisa, es la prou
pagaci´n de la perturbaci´n o cambio producido en el valor de una cantidad f´sica en
o
o
ı
alguna zona delespacio. Por ejemplo, en las ondas sonoras se propaga un cambio en
la presi´n que se produce, por ejemplo, cuando hablamos. Las leyes de la Mec´nica
o
a
aplicadas a este caso muestran que dicha perturbaci´n se extiende en el espacio,
o
dando lugar a variaciones de presi´n y densidad en otros puntos. A esto se le llama
o
onda.
Si bien las oscilaciones se han estudiado dentro del campo de laMec´nica, cona
siderando el modelo sencillo de la part´
ıcula unida al extremo de un muelle ideal,
en este tema no vamos a estudiar nig´n tipo de onda en concreto, sino que analiu
zaremos el movimiento ondulatorio desde un punto de vista general. No obstante,
aludiremos en algunas ocasiones a alg´ n ejemplo, tal como el sonido, las ondas elecu
tromagn´ticas, etc, con el objeto de facilitar lacomprensi´n de los aspectos que se
e
o
van a desarrollar.
93

CAP´
ITULO 7. ONDAS

94

7.2

Las ondas viajeras

En este apartado vamos a introducir matem´ticamente el movimiento ondulatorio.
a
Si bien el fen´meno de las ondas es mucho m´s complejo y rico que la descripci´n
o
a
o
simplificada que vamos a mostrar a continuaci´n, ´sta nos permitir´ abordar el
o e
a
tema encuesti´n desde una perspectiva sencilla en la que se mostrar´n algunos de
o
a
los aspectos m´s representativos de este fen´meno.
a
o
Estamos interesados en describir matem´ticamente una situaci´n que se produce
a
o
en muchos campos de la F´
ısica, y que expondremos de la siguiente forma simplificada: en un punto del espacio, que llamaremos foco o fuente, se produce una
perturbaci´n,correspondiente a un cambio en el tiempo en el valor de una magnitud
o
f´
ısica, tal como la presi´n, la densidad, el campo el´ctrico, etc.., y dicha perturbao
e
ci´n se propaga a otros puntos del espacio en los que se reproduce de forma an´loga
o
a
a como se hizo en el punto inicial, dando lugar al movimiento ondulatorio.
Consideraremos las simplificaciones siguientes:
1. Supondremos que laperturbaci´n se propaga en una direcci´n. Si llamamos
o
o
OX a la direcci´n de propagaci´n, la magnitud f´
o
o
ısica estar´ representada por
a
una funci´n de x y t. Si la magnitud que se propaga es escalar, estar´ reo
a
presentada por una funci´n g(x, t); si es un vector, la representaremos por
o
g(x, t) = g(x, t)u, donde u es un vector unitario. En el primer caso la onda
se denomina...