multiplicadores
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Publicado: 7 de junio de 2013
Multiplicadores de Lagrange
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar losmáximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual alnúmero de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. Elmétodo dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios ede una nueva función sin restricciones construida como una combinaciónlineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones devarias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la funciónsean iguales a cero.
El método de los multiplicadores de Lagrange
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,...,s, yse observa (si las restricciones son satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h
lo que es equivalente a
Demostración
Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partirde las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada
El método demultiplicadores de Lagrange es generalizado por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.
Ejemplos
Ejemplo #1
Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con...
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar losmáximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual alnúmero de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. Elmétodo dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios ede una nueva función sin restricciones construida como una combinaciónlineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones devarias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la funciónsean iguales a cero.
El método de los multiplicadores de Lagrange
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,...,s, yse observa (si las restricciones son satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h
lo que es equivalente a
Demostración
Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partirde las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada
El método demultiplicadores de Lagrange es generalizado por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.
Ejemplos
Ejemplo #1
Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con...
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