Método de la m

Método de la M

Definimos la letra M como un número muy grande pero finito para usarlo como coeficiente de las variables artificiales en  la función objetivo y con sentido contrario a la misma para penalizar de manera muy grande la existencia de las mismas en la solución.  Si el objetivo es minimizar las variables artirficiales entraran con M positivo y si es maximizar las variablesartificiales se usaran como -M. 
 
Ejemplo:
 
Min Z  = 2X1 +  X2 + 3X3
Sujeto a:
                  3X1 +   X2 + 2X3   <=    10
                    X1 -  2X2 + 3X3    >=     6
                  2X1 + 3X2 -    X3    <=     9                   
                      X1 +  X2  +2X3      =     7          
C.N.N
 
1. Convertir al Modelo Estándar:
 
Cada restricción debe ser convertidade inecuación a una igualdad, agregando variables como se requiera. Con las restricciones de tipo <=, es supremamente fácil. Simplemente se agrega una en cada restricción con coeficiente 1 en la misma restricción y con coeficiente cero en la función objetivo. Por ejemplo:
 
                    3X1 +   X2 + 2X3   <=    10 queda:
                    3X1 +   X2 + 2X3 + S1  =    10
 
Sepuede leer así:  el uso de la primera restricción no puede superar la disponibilidad de 10 unidades, lo que equivale a decir que lo usado mas lo que sobre (s1) es igual a 10. Para las restricciones de tipo mayor o igual, la lógica es la misma, de esta manera decir:
 
                    X1 -  2X2 + 3X3    >=     6
 
Se puede leer como: el uso de la restricción 2 debe ser como mínimo 6unidades. Eso significa que el uso podría ser 6.1 o tal vez 7 u 8... etc. Podríamos escribirlo también como 6+0.1 o 6+1 o 6+2 ... o en términos generales:
 
                    X1 -  2X2 + 3X3    =     6   + S2 que es equivalente a decir: lo usado en la restricción2es igual al mínimo requerido que es 6 mas el adicional que esta en S2. Esto lo podemos reescribir como:
 
                    X1 -  2X2+ 3X3  - S2   =     6  
 
Sin embargo para el método simplex, cuando aparece esta restricción tipo >= es necesario adicionar una variable comodín, llamada Variable Artificial, sin ningún significado físico, sólo como artificio matemático. Lo sumamos al lado izquierdo de la restricción como se muestra a continuación:
 
                    X1 -  2X2 + 3X3  - S2   + A1 =     6  
 
Al usaruna variable artificial debemos penalizar la función objetivo allí la vamos a incluir con un coeficiente muy grande, llamado M, al estar minimizando la sumamos  + .MA1.
 
La tercera restricción es de tipo <=, por lo que no tenemos ningún problema con ella:
 
                  2X1 + 3X2 -    X3    <=     9   queda
                  2X1 + 3X2 -    X3  + S3  =     9  
 
La cuartarestricción es de tipo =. Para  este tipo de restricción simplemente adicionamos una variable artificial al lado izquierdo:
 
                      X1 +  X2  +2X3      =     7 queda:
                      X1 +  X2  +2X3    + A2  =     7
Recordemos: las variables de holgura quedan con coeficiente 0 en la función objetivo y las variables artificiales con coeficiente M. Positiva si es minimizando onegativa si es maximizando.
 
En resumen el modelo queda de la siguiente manera:
 
Min Z  =  2X1 +     X2     +  3X3    + 0S1 + 0S2 + MA1 + 0S3 + MA2
Sujeto a:
                    3X1  +      X2      +  2X3      +   S1                                                            =    10
                       X1  -    2X2      +  3X3                      - S2   + A1                                   =     6
                     2X1 +    3X2      -     X3                                                 + S3                   =     9                   
                       X1 +       X2     +   2X3                                                                + A2    =     7          
C.N.N (Condición de No Negatividad)
 
2. Escribir en formato de Tabla Simplex.
 
Si lo...