Método de Punto Fijo

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN UNA VARIABLE
MÉTODO DE PUNTO FIJO.
DEFINICIÓN DE PUNTO FIJO.
Se dice que una función f tiene un punto fijo p, si existe un número p de su dominio tal que f(p) = p
Ejemplos:
1-) Sea f una función definida tal que f(x) = , entonces f tiene dos puntos fijos p = 0 pues f(0) = 0 y p = 1 pues f(1) =1.
2-) Si h es una función definida por h(x) = , entoncesh tiene un punto fijo p = 2 pues h(2) = 2.
3-) Una función g definida por g(x) = , tiene dos puntos fijos p = 3 y p = 2 dado que g() = 3 y g() =
4-) Cada elemento del dominio de la función identidad k(x) = x es un punto fijo.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN, f(x) = 0.
La idea de encontrar la solución de una ecuación f(x) = 0, es definir esta función de la forma equivalente f(x) = x g(x), detal forma que si g tiene un punto fijo x = p, la expresión x g(x) = p g(p) = 0. Esto significa que al encontrar el punto fijo p de la función g, se ha encontrado la raíz o la solución de la ecuación f(x) = 0
Descripción:
Supongamos que una función g(x) es continua en un intervalo de su dominio y en ese intervalo posee al menos un punto fijo x = p, entonces al graficar simultáneamente lafunción identidad k(x) = x y la función g(x), se encontraría un punto de intersección entre las dos gráficas, de la forma (p, g(p)) = (p, p) para la función g, que conduciría al par ordenado (p, f(p)) = (p,0) para la función f, lo cual nos daría la solución de la ecuación f(x) = 0.
Al aplicar el método de punto fijo se debe iniciar con una aproximación    y la expresión   genera una sucesión deaproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación  .
A la función   se le conoce como función iteradora y se puede demostrar que tal sucesión   converge siempre y cuando la primera derivada de g(x), cumpla que, Si entonces la sucesión  no converge y por tanto la ecuación f(x) = 0 no tiene solución.
Ejemplo1.
Si f(x) = encuentre el valor de x tal que f(x) = 0, con un errorabsoluto de 0,00001
Paso1.
Se hace f(x) = 0 y se despeja la x:




Paso 2.
Entonces nuestra función iteradora es g(x) = .
Paso 3.
Buscar las aproximaciones del punto fijo de g(x), bajo las sucesiones:

Tomamos un valor inicial , entonces:

El error absoluto inicial en este módulo es:
=
Continuando este proceso en forma sucesiva tenemos:

El error en este módulo es:
=
ITERACIÓN3.

El error en este módulo es:
=0,316078295
ITERACIÓN 4.

El error en este módulo es:
= 0,439313078
ITERACIÓN 5.

El error en este módulo es:
= 0,484469683

ITERACIÓN 6.

El error en este módulo es:
= 0,425746791
ITERACIÓN 7.

El error en este módulo es:
= 0,311469473
ITERACIÓN 8.

El error en este módulo es:
= 0,200594181
ITERACIÓN 9.

El error en este módulo es:= 0,119291011
ITERACIÓN 10.


El error en este módulo es:
= 0,067707632
ITERACIÓN 11.

El error en este módulo es:
= 0,037434008
ITERACIÓN 12.

El error en este módulo es:
= 0,020399536
ITERACIÓN 13.

El error en este módulo es:
= 0,011029687
Si continuamos este proceso podemos avanzar hasta que la sucesión de los converjan a un valor de tal forma que el error en cadamódulo disminuya tanto como se quiera. Por ejemplo en la iteración 24, se obtiene lo siguiente:
ITERACIÓN 24.


El error en este módulo es:
= 0,000011635
Por tanto, el valor x = 3,733065602 está muy próximo de ser un punto fijo para la función g(x) = , dado que:
g(3,733065602) = = 3,733071838
Análogamente, el valor x = 3,733065602 está muy próximo de ser un cero para la ecuación f(x) = 0 sila función f está dada por f(x) = , puesto que:
f(3,733065602) = = 0,000260596
El valor exacto, en este proceso, que corresponde a la solución de la ecuación:
es x = 3,733079029
Pero el método de punto fijo tiene un problema, el cual es, no proporcionar todas las soluciones de una ecuación con más de una solución, pues en este caso en particular existe otra solución de la ecuación...