Método Simpson






METODO DE APROXIMACION DE SIMPSON

En el primer corte se pretende que el estudiante haga una consulta de fuentes bibliográficas sobre análisis numérico que sean relevantes para lacomprensión de los temas del proyecto de aula, los algoritmos involucrados en este, y los problemas clásicos que los algoritmos aproximan.

DESCRIPCIÓN

A través de un ejemplo se explica el método deaproximación de Simpson que servirá para las entregas posteriores para ser aplicado en el programa WxMaxima.

Cuando aproximamos por el método de los trapecios el área bajo la curva de una funcióndonde  , estamos encontrando el polinomio de primer grado ( función lineal ) que mejor se ajusta a los dos puntos  y  en el intervalo  de la partición, esta aproximación se puede mejorarsi encontramos el polinomio de segundo grado ( función cuadrática) que se ajusta a tres puntos consecutivos de la curva ,   de una partición del intervalo  dada por  dividido en subintervalos de igual longitud  .


Para simplificar los cálculos, examinaremos primero el caso en que  , y  ya que si trasladamos este par de intervalos centrados en el origen el área bajo lacurva sigue siendo la misma.


Sabemos que la ecuación de la parábola que pasa por  tiene la forma  ; por consiguiente el área bajo la parábola, desde  hasta  es:



Siconsideramos la función  y la función  notamos que:



 Luego  es una función par. Por otro lado se tiene que  Luego  es una función impar, entonces es posible expresar las integralesmostradas anteriormente como:



Por lo tanto:



Pero como la parábola pasa por  remplazando en la ecuación  cada uno de estos puntos se obtiene.






Por consiguiente si sumamosla primera y la última ecuación se tiene que:




Ahora sumando  en los dos miembros de la igualdad tenemos que:

 Sabiendo que  y remplazando en la izquierda de la igualdad:...