métodos numéricos (errores) mat lab

Programación y Métodos Numéricos
Errores de redondeo

Carlos Conde, Arturo Hidalgo y Alfredo López
ETSI Minas de la Universidad Politécnica de Madrid

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO
1º) Considérese un número estrictamente positivo del sistema de
números máquina F(s+1, m, M, 10). Supongamos que tal número es:
z = 0.d1d2.....ds·10e
Responde justificadamente a lassiguientes cuestiones:
a) ¿Cuál es la distancia entre el número máquina z y el número –z?.
b) ¿Cuál es la distancia entre el número z y el número máquina más
pequeño que sea superior al que es inmediatamente superior al
inmediatamente superior a z?
?
z

Solución:
a) La distancia pedida será z – (-z) = 2·z = 2·(0.d1d2....ds)·10e.
b) Siendo w el número máquina inmediatamente superior al que esinmediatamente superior al inmediatamente superior a z, suponiendo que los
exponentes de z y de w sean el mismo, se tiene que:
w = 0.d1d2....ds-1ds·10e + 0.00...03·10e
Por tanto, en ese caso w – z = 3·10e-s. Obsérvese que para que el exponente
de w y de z sean el mismo la mantisa de z debe ser inferior a 0.99...97.
En el caso en que z sea un número de la forma z = 0.99....97·10e =
99....97·10e-s el número máquina siguiente sería z1 = 0.99....98·10e =
99...98·10e-s , el siguiente a él z2 = 0.99...99·10e = 99...99·10e-s y el número
máquina siguiente a z2 será w= 0.10...00·10e+1 = 100....00·10e-s. Por tanto en
este caso también la distancia pedida es w – z = 3·10e-s
En el caso en que z sea un número de la forma z = 0.99....98·10e =
99....98· 10e-s el número máquina siguiente sería z1= 0.99....99·10e =
99...99·10e-s , el siguiente a él z2 = 0.10...00·10e+1 = 100...0·10e-s y el número
máquina siguiente a z2 será w= 0.10...01·10e+1 = 100....10·10e-s. Por tanto en
este caso la distancia pedida es w – z = (100...10 – 99...98)·10e-s = 12·10e-s.
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Y , finalmente, en el caso en que z sea un número de la forma
z = 0.99....99·10e = 99....99· 10e-s el número máquina siguiente es z1 =
0.10...00·10e+1 = 100...0·10e-s, el siguiente a él z2 = 0.10...01·10e+1 =
100....10·10e-s y el número máquina siguiente a z2 es w= 0.10...02·10e+1 =
100....20·10e-s. Por tanto en este caso la distancia pedida resulta será:
w – z =(100...20 – 99...99)·10e-s = 21·10e-s.
En resumen, la distancia pedida es:

ì 3·10e- s
ï
ï
ï
ï 12·10e- s
í
ï
e- s
ï
ï
ï 21·10
î

" z / 0.10...00·10e £ z £ 0.99....97·10e
Si
Si

z = 0.99....98·10e
z = 0.99....99·10e

2º) Si se utiliza la estrategia de redondeo, ¿cuál es el número máquina del
sistema F(4, -10, 10, 10) que se obtiene como potencia cuarta del número
máquinaque aproxima al número p ?. ¿Y cual sería el número máquina
que aproximaría a p 4 ?.
Solución:
En el sistema F(4, -10, 10, 10) el número p = 3.141592... es redondeado por el
número máquina: z = 0.314·101. Se tiene entonces que el número real:
z2 = z·z = 0.09859..·102
es aproximado por el número máquina: w = 0.986·101. A su vez el número real
w2 (que aproximaría z4) es:
w2 = w·w =0.97219..·102
que se aproximaría redondeando por el número máquina: v = 0.972·102.
El número real p 4 es: p 4 = 97.40909.... y se aproximaría mediante redondeo
por el número máquina q = 0.974·102. El error cometido al operar de una u otra
forma es por ello: 0.002·102 = 0.2.

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3º) ¿Cuántos números máquina del sistema F(4, -10, 10, 10) son
estrictamente mayores que 103 y estrictamente inferiores que 1237?.
Solución:
El número 103 en el sistema de números máquina se representa por: z =
0.103·103. Estrictamente mayores que él pero con el mismo exponente
existirán los números máquina 0.104·103, 0.105·103, 0.106·103, ....., 0.999·103....