Métodos númericos

Facultad de Ingeniería
Escuela De Recursos Naturales Y Del Ambiente, EIDENAR
Asignatura Métodos Numéricos

Maria Teresa Solarte
Miguel Ángel Díaz
Ronald Andrés González

INFORME TALLER DE APROXIMACION E INTERPOLACION- SCILAB

1. INTRODUCCIÓN

Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nosencontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico (Muto, 1998).

La interpolación consiste en encontrar una curva que pase por una colección de puntos dados. En muchas ocasiones, el objetivo es determinar el valor de la función en un punto a partir de valores en puntos próximos. Lafunción de interpolación servirá para sustituir a la función desconocida, tanto para evaluarla en puntos en los que no se conoce su valor (interpolación, en sentido estricto), como para conocer su tasa de variación (diferenciación numérica) o su distribución acumulativa (integración numérica) (Infante y Rey, 1999).

En este informe se utilizara diferentes métodos de aproximación e interpolación comoel de Newton y Lagrange, para un grupo de parejas de datos obtenidos a partir de la función .

2. OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Determinar mediante el uso de métodos numéricos de interpolación y aproximación funciones aproximadas que describan el comportamiento de parejas de datos para poder interpolar datos diferentes a estos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Hacer uso del programa Scilab, comoherramienta útil en la solución de problemas matemáticos de alto nivel.
Comparar la solución obtenida en los diferentes métodos de aproximación con los valores reales de una función.
Determinar cuál método es más aproximado y más útil.

3. DATOS

El ejercicio desarrollado en este informe fue el número 1 del Taller 3: Interpolación y Aproximación Numéricos – 2014.

Ejercicio1: Suponga la siguientetabla de datos obtenidos mediante la función .

Tabla 1. Datos.


Además de los datos de x de la tabla 1 se toman otros datos que están por fuera del rango de x para evaluarlos en los diferentes métodos de aproximación, estos datos son los siguientes:

Tabla 2. Datos adicionales.
X1
3
X2
3.5
X3
4
X4
4.5
X5
5

Los datos generados por la función para todos los valores de x con los que se trabajó son:Tabla 3. Datos con los que se trabajó.
x
y
0
0,540
0,5
0,283
1
-0,078
1,5
-0,519
2
-0,912
2,5
-0,940
3
-0,229
3,5
0,864
4
0,448
4,5
-0,998
5
0,927

4. ANÁLISIS Y RESULTADOS

De la iteración en Scilab se obtuvieron los siguientes datos para cada x en cada método:

Método de Lagrange

Tabla 4. Datos obtenidos en la iteración en Lagrange.
x
y (real)
y (aprox)
error
-1
0,822
0,7332
1,08E-01
-0,50,712
0,7029
1,24E-02
0
0,540
0,5403
4,27E-06
0,5
0,283
0,2829
1,54E-04
1
-0,078
-0,0778
5,92E-04
1,5
-0,519
-0,5194
9,05E-05
2
-0,912
-0,117
8,72E-01
2,5
-0,940
-0,9398
5,29E-07
3
-0,229
-0,0272
8,81E-01
3,5
0,864
27.411
3,17E+04
4
0,448
86.955
1,94E+05

Newton

Tabla 5. Datos obtenidos en la iteración en Newton.
x
y (real)
y (aprox)
error
-1
0,822
0,7332
1,08E-01
-0,5
0,712
0,7029
1,24E-02
0
0,5400,5403
4,27E-06
0,5
0,283
0,2829
1,54E-04
1
-0,078
-0,0778
5,92E-04
1,5
-0,519
-0,5194
9,05E-05
2
-0,912
-0,9117
3,72E-05
2,5
-0,940
-0,9398
5,29E-07
3
-0,229
-0,0272
8,81E-01
3,5
0,864
2,7411
2,17E+00
4
0,448
8,6955
1,84E+01

Las gráficas comparativas para cada método y los datos de la ecuación de son:
Graficas realizadas en Scilab:

Figura 1. Grafica arrojada por Scilab.
Para poder observar mejorel comportamiento se realizó las gráficas en Excel que se presentan a continuación:
Lagrange

Figura 2. Grafica Langrange 1.

En la figura 2 se observa que ambas curvas tienen un comportamiento similar entre -1 y 3, ya que después de este valor, la curva de aproximación se eleva exponencialmente. Esto se puede deber a que el método no es muy preciso al momento de utilizar valores que estén...