Mínimo Común Múltiplo

Mínimo común múltiplo
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En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos. Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o enteros gaussianos.1Índice
1 Cálculo del mínimo común múltiplo(m.c.m)2 Propiedades básicas3 Aplicaciones del mínimo común múltiplo3.1 Suma de fracciones3.2 Expresiones algebraicas4 Algoritmo de cálculo5 Generalización del concepto de m.c.m. y m.c.d.6 Referencias7 Véase también8 Enlaces externosCálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m)
Partiendo de 2 o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimocomún múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:





Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximocomún divisor.

Propiedades básicas
Si a es un entero, entonces [a, a] = a
Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, sólo si b es múltiplo de a.
(a,b) = [a,b] si son iguales u opuestos.
[a, b] = [ab] si, sólo si (a,b)= 1
[a/d, b/d] = [m/a, m/b] donde m = mcm y d = mcd.2[ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 13[a,b,c]= [[a,b], [b,c]]
[a, b, c]|abc, donde abc ≠ 0
[a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)4Siel producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor dicho cociente es el mínimo común múltiplo.
A y B que descompuestos en números primos será A=(p1·p2)·p3·p4 y B=(p1·p2)·p5·p6 donde si m.c.d. es (p1·p2) y el producto de A·B=(p1·p2)·p3·p4·(p1·p2)·p5·p6 donde vemos que (p1·p2) está repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (p1·p2) tendremos el total menor que contiene aA y B siendo su mcm
El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
El mínimo común múltiplo de dos númeroscompuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.
El máximo común divisor de varios números es un divisor del mínimo común múltiplo de tales números.5Sea mZ el conjunto de los múltiplos del entero m, nZ el del entero n. Entonces el conjunto nZ∩mZ está formado por los múltiplos comunes de m y n; en otra notación es el conjunto[m,n]Z.6Máximo común divisor
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En matemáticas, se define el máximo común divisor(MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar resto.
Índice
1 Precisiones
2 Cálculo del MCD
2.1 Por descomposición en factores primos
2.2 Usando el algoritmo de Euclides
2.3 Usando el mínimo común múltiplo
2.4 MCD de tres o más números
3Propiedades
3.1 Proposiciones
3.2 MCD como operación interna
4 Aplicaciones
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
Precisiones
Si a y b son números enteros distintos de cero y si el número c es de modo que c|a y a su vez c|b, a este número c se denomina divisor común de los números a y b.1 Obsérvese que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Cuando existen, únicamente,como divisores comunes 1 y -1 de los números a y b, estos se llaman primos entre sí.
Un número entero d se llama máximo común divisor (MCD) de los números a y b cuando:
d es divisor común de los números a y b y
d es divisible por cualquier otro divisor común de los números a y b.
Ejemplo:
12 es el mcd de 36 y 60. Pues 12|36 y 12|60; a su vez 12 es divisible por 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4,...