Números Enteros

Números Enteros. Z
Un número entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales, sus negativos y el cero.
1.5 Propiedades de adición de los números enteros.
Como N € Z debeproducir los mismos resultados que la adición en N cuando los enteros que se suman son positivos, lo que conduce a la siguiente definición:


El símbolo + que está a la izquierda del signo =representa la adición de Z (la cual se está definiendo), mientras que el símbolo + que está a la derecha representa la adición de números naturales.
-Ejemplo:
Calcular la suma 8 +3.
Donde:
+ Paraadición en N
+* Para la adición en Z
Los números enteros 8 y 3 pueden expresarse como
8 = 9 – 1
3 = 7 – 4
Aplicando…
8 +*3 = (9 + 7) – (1 + 4)
8+*3= 16– 5
8 +*3 = 11

Como 8 y 3 son también números naturales, debemos obtener el mismo resultado que en el ejemplo anterior. € Z









Demostración
Se demostraran i), v) y vi)
i) Sean a= m – ny b = p – q, dos números enteros cualesquiera.
De la adición en Z.
a+ b = (m + p) – (n + q)
Como m, n, p, q € N de Adición en N
(m + p) € N y (n + q) € N
Por lo que de Diferencia de númerosNaturales
(m + p) – (n + q) € Z
En consecuencia
a + b € Z, como se quería.
v) Se definió el cero como el numero x tal que
n + x = n, con n € N
Por lo que puede expresarse como
0= n – n
Entonces, si a + 0 =(m – n) + (n – n)
De la definición de Adición en Z
a + 0 = (m + n) – (n + n)
Por lo que a + 0 es tal que
(n + n) + (a + 0) = m + n

Ahora por las propiedades ii), iii) y iv) se tiene que
n + [n + (a +0)] = m + n
[n + (a + 0)] + n = m + n€ N
Será el numero x
n + (a + 0) = m
En consecuencia
a + 0 = m – n
Esto es
A + 0 = a, como se quería.
vi) Sea a = m – n un numero entero. Dichonúmero es tal que
n + a = m, con m, n € N
En consecuencia, la solución de la ecuación
m + x = n, con m, n € N
Será el numero x = n – m porque por Diferencia de números Naturales, es un numero...