números naturales

Números Naturales
Formados de números pares e impares que inician desde el 1 y se lo representa con la letra N.
Dígitos, polidígitos.- Los dígitos van desde el 1 hasta el 9 y polidígitos están formados de 2 dígitos.
Primos.- Son divisibles para sí mismo y para la unidad 2-3-5-7-11-17-19-23-13.
Compuestos.- Aquellos divisibles para sí mismo y para la unidad y cualquier otro número 4-6-9-12.Máximo Común Divisor (M.C.D.).- Es el mayor número común o que divide a los números mayores dados:




M.C.D. = 2
Nota: Siempre coger al número de menor exponente.

2do Procedimiento

Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.).- Es el número que contiene a los números originales dados.



Nota: Coger el número de mayor exponente, se toman en cuenta a factores comunes y no comunes.Ejercicios:
m.c.m.




mc.m. = 24.5.32
m.c.m. = 720
m.c.d. 462 y 627
462 = 2.3.7.11
627 = 3.11.19
m.c.d. = 3.11
m.c.d. = 33

m.c.m. 77 y 143
77 = 7.11
143 = 13.11
m.c.m. = 77.13
m.c.m. = 1001

m.c.d. 63 y 135
63 = 32.7
135 = 33.5
m.c.d. = 32
m.c.d. = 9

Ejercicios:
Determinar si 317 es número primo
=17 (17, 13,11, 7, 5, 3, 2) => Números primos


= = =



= Conclusión: El número 317 es un número primo.



Verificar si el número 157 es primo
(11, 7, 5, 3, 2) => Números primos

= = =



= Conclusión: El número 157 es un número primo.



Números Enteros

Número Racional.- Es aquel que su resultado es un número decimal.
=> IrracionalUn número racional es un decimal que termina o que se repite
Número Irracional.- Es el número decimal que no se repite ni termina

Número Irreal.- Es aquel que está formado por números racionales e irracionales, a los números reales se los relaciona con los puntos de la recta numérica.

Algoritmo de la División
m = n(q)+r



Ejercicios
Determine el cociente y el residuo conociendom = 111 y n = 4
q = 27
r = 3

m = 2880 n = 61
q = 47
r = 13

m = 15133 n = 119
q = 127
r = 20

Determinar el máximo común divisor (M.C.D.) de 180 y 30
m = 108
n = 30

M.C.D. = 6

Determinar el M.C.D., si m = 154 y n = 105



M.C.D. = 7

Propiedades de los Números Reales
1. Axioma de igualdad:

Reflexiva: a = aSimétrica: a = b => b = a
Transitiva: a = b ˄ b = c => a = c
Sustitución: Si a = b entonces a puedo sustituir por b.

2. Axioma de cuerpo:
+ x = para todo a
Clausurativa: a + b = c, c Є R…………………a.b = p; p Є R
Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c…………..a(b.c) = (a.b).c = tal que
Identidad: ……………….
Invertida:
Conmutativa: a + b = b + a………………………a.b = b.a
Distributiva: a (b + c)= ab + ac

3. Leyes de cancelación:

1


2

4. Propiedades de los negativos

-(-a) = a
-(a + b) = - a – b
-(a – b) = - a + b
(-1) (a) = a (-1) = -a
a (-b) = (-a) b = -ab
(-a) (-b) = ab

5. Multiplicación del cero en (.) y (÷)
 a = b.c ≠ 0
a ÷ 0 => no está definido
=>
a(0) = 0 =>
a.b = 0  a = 0 ó b =0

Axioma de orden

1. Cerradura: a > 0 ˄ b > 0 => a + b >0; a.b > 0
2. Tricotomía: , a > 0 o bien a = 0 o bien a < 0
3. Transitiva: a < b ˄ b < c => a < c

Propiedades de los Axiomas de orden
1. a < b => a + c < b + c
2. a < b ˄ c > 0 => ac < bc
3. a < b ˄ c < 0 => ac > bc
4. 0 < a < b => 1/a > 1/b

Ejemplo:
Demostrar que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
1. (a + b)2 = (a + b) (a + b)……………..Axioma Reflexivo
2. (a + b)2 = a(a + b) + b(a +b)………….Axioma Distributivo
3. (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2………….Axioma Distributivo
4. (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2………….Axioma Conmutativo
5. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2………………Axioma Clausurativo

Ejercicios:
En las proposiciones del 1 al 24, es decir si son verdaderas o falsas justificando su respuesta.
1.- La suma de dos enteros positivos cualquiera es un entero:
(V) Porque: a + b = c; c Є R =>...