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NOMBRE: ROMERO GAMEZ JOSUE ARMANDO

ESCUELA: CETIS #166

GRUPO:3VI2

TURNO: VESPERTINO

MATERIA: GEOMETRIA ANALITICA

PROFESOR: JORGE ORTEGA MEDELLIN

CONICAS:

FECHA DE
ENTREGA:

05/10/09

Introducción: secciones cónicas    

La hipérbola como sección cónica   [pic]        [pic]
La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola soncurvas planas de todos conocidas.
Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.
 [pic]   [pic]    La elipse como sección cónica
Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobarla falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. (las cónicas como lugares geométricos).

La parábolacomo sección cónica    [pic]  [pic]

Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.
 
 

INDICE
1.’INTODUCCION

2.’DEFINICION

3.’CLACIFICACION

4.’CENTRO

5.’ECUACION REDUCIDA

6.’ECUACION FOCAL

7.’CONICAS NO DEGENERADAS

Definición :
Una cónica esel lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:
[pic]
La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como    
[pic]
donde
[pic]
 
Una cónica queda pues definida  por una matriz simétrica [pic]
En lo que sigue denotaremos por Aii  a la matriz adjunta en A del elemento aii   i=0,1,2 .

Ejemplo:                                         [pic]
En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior

En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son
            
         [pic]
Las figuras que represetan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas ocoincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:

[pic]       [pic]         [pic]
 
A continuación estudiamos como se puede determinar que tipo de curva que define una ecuación cuadrática dada.
 Clasificación de lascónicas
Existen ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).
Si  [pic] y [pic] son las matrices asociadas a la cónica después de que ésta ha sufrido un giro y una traslación, respectivamente, entonces
1)  det A=det A'=det A'',
2)   a11 + a22 = a'11+ a'22 = a''11 + a''22,
3)  det A00 = det A'00 = det A''00.Tabla de Clasificación
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| | |
||det A00   ≠ 0 |
| |det A00  > 0 |
|det A ≠ 0 |signo (det A) = signo (a11+a22)              Elipse imaginaria |
| |...
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