Newton

Interpolación por diferencias divididas de Newton | Software:   |  | Diferencias Divididas |
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El caso más sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos, , obteniéndosela muy conocida función lineal que une dos puntos:

Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función , la pendiente , que tiene una forma de diferencias divididas, representa una aproximaciónmuy global de la primera derivada de , con variando en el intervalo .
En el caso de tres puntos , en principio se busca el polinomio de interpolación de grado dos de la forma

Al evaluar elpolinomio en cada uno de los tres puntos y despejando , y , se obtiene:

 
Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando sucesivamente las entradas de un arreglo triangular:
  
Donde para En la diagonal de este arreglo triangular aparecen los valores , y .
A manera de ejemplo con una cantidad mayor de puntos, determinemos por el método de diferencias divididas deNewton el polinomio interpolante que pasa por los puntos , , y . El arreglo triangular en este caso toma la forma específica:
 

 
Se concluye entonces que

 

Titun con esta tabla se puedehacer el siguiente ejercicio

LORE SI QUIERES EL PROCEDIMIENTO EN EL COMPUTADOR AQUÍ ESTA Y ES UN ALGORITMO

Regla de Simpson 1/3
La segunda fórmula de Newton-Cotes es para una cuadráticaintegrada en dos intervalos que son de anchura uniforme:
 
I ≈ h . [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
3
 
donde para este caso h = (b-a)/2. Al sustituir h en nuestra ecuación anterior, la regla deSimpson 1/3 se expresa también como:
 
I ≈ (b-a) f(x0) + 4f(x1) + f(x2).
6
 
donde a = x0, b = x2 y x1 = punto a la mitad del camino entre a y b, que esta dado por (b+a)/2.

EJEMPLO 1PUNTO
f(x) = 0.2 +25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5
Desde a = 0 hasta b = 0.8. La integral exacta es 1.640533.
 
-         Por Simpson 1/3
 
x0 = 0
x2 = 0.8
x1 = (0 + 0.8)/2 = 0.4
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