ninguno

Santiago, Noviembre 19 de 2009.

´
Cuarta Prueba de Algebra I.
Nombre:
1. Considere W = {p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ R3 [x]|a + 2b + c − d = 0 ∧ a − b − c = 0}.
a) Demuestre que W

R3 [x].(06 Puntos)

b) Determine una base y dimensi´n de W .
o
c) Determine U

(06 Puntos)

R3 [x] tal que R3 [x] = W ⊕ U .

(06 Puntos)

2. Si α = {(1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, −1)} una basede R3 . Determine una base β tal que:


2
[I]β =  −2
α
1

3
1
1

(18 Puntos)


1
1 
−1

3. Si W = {p(x) = a + bx + cx2 ∈ R2 [x]|a + b − 3c = 0} respecto del producto interno:
1p(x), q(x) =

p(x)q(x)dx
−1

a) Determine PW .

(06 Puntos)

b) Calcule d(1 + x + x2 , W ).

(06 Puntos)

4. Considere V un espacio vectorial con producto interno , . Demuestre que:
4u, v = u + v

2

− u−v

2

Observaciones
Solo se aceptar´n consultas de redacci´n dentro de los primeros 10 minutos.
a
o
No se admiten consultas relacionadas con la materia.
No sepermite el uso de apuntes ni libros.
Todas las preguntas tienen una ponderaci´n de 12 puntos.
o
Duraci´n 90 minutos.
o
Preguntas incompletas o sin justificaci´n ser´n evaluadas con menor puntaje.
o
aProfesor
email

´
: Miguel Angel Mu˜ oz Jara.
n
: miguel.munoz.jara@gmail.com

1

(12 Puntos)

PAUTA.
1. Considere W = {p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ R3 [x]|a + 2b + c − d = 0 ∧ a − b −c = 0}.

W

(06 Puntos)

= {p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ R3 [x]|a + 2b + c − d = 0 ∧ a − b − c = 0}
= {p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ R3 [x]|d = 3b + 2c ∧ a = b + c}
= {p(x) = b + c + bx + cx2 +(3b + 2c)x3 ∈ R3 [x]|d, a ∈ R}
{1 + x + 3x2 , 1 + x2 + 2x3 }
R3 [x].

-L

Por lo tanto W

CC
.2
00
9.

a) Demuestre que W R3 [x].
Soluci´n. Observe que:
o

aI

b) Determine una basey dimensi´n de W .
o
(06 Puntos)
2
2
3
Soluci´n. observe que del item anterior se tiene que {1 + x + 3x , 1 + x + 2x } es una base de W y
o
dim(W ) = 2.

´
Al
ge

br

c) Determine U...