Ninguno

Números imaginarios
“El espíritu Divino halló una sublime expresión en esa maravilla del análisis, ese portento del mundo ideal, ese anfibio entre el ser y el no ser que llamamos la raíz imaginaria de la unidad negativa”.
Leibniz
Ningún matemático se sentó un día en su mesa y dijo ¡voy a construir los números imaginarios! Aparecieron solos, como fantasmas, en las soluciones de algunasecuaciones. Y como fantasmas permanecieron durante siglos apareciendo aquí y allá, incomodando a todos con su presencia. La mayoría de los matemáticos estuvieron evitándolos o ignorándolos, hasta que un día, estos fantasmas, los números imaginarios, se integraron con pleno derecho en los cálculos. Se les aceptó como soluciones de ecuaciones y adquirieron una identidad propia, y pasaron a ser un conceptofundamental en las Matemáticas y de presencia obligada en cualquier texto de enseñanza elemental.
Aún así, todavía hay quien cree que los números imaginarios son un invento más de las Matemáticas, que sólo tienen presencia en un mundo ideal, completamente alejado de la realidad. Y nada más falso. Los números complejos son los ladrillos sobre los que se construye la física actual. Tienen inclusoaplicaciones eminentemente prácticas, como por ejemplo en ingeniería electrónica, en la que se utilizan números reales para medir la resistencia, pero números complejos para la inductancia y la capacitancia. Sin embargo, en pleno siglo XX todavía era frecuente encontrar libros de texto, especialmente de trigonometría, que en sus demostraciones evitaban a toda costa la presencia de númerosimaginarios, incluso en situaciones en las que su utilización hubiera simplificado enormemente los cálculos.
Raíces de números negativos
La raíz cuadrada de un número a, que se simboliza con el signo  , es por definición otro número b, tal que al elevarlo al cuadrado nos da a, es decir que  significa que b2 = a. Por ejemplo:
, porque 22 = 4
 , porque 32 = 9
Por otro lado, existe una regla de signospara la multiplicación y la división que se traduce en que “más por más es igual a más; más por menos (o menos por más) es igual a menos” y “menos por menos es igual a más” que escrito de forma simbólica sería:

Esto se traduce literalmente en las operaciones entre números:
5·2 = 10
(-5)·2 = -10
(-5)·(-5) = 25
Según esto, el cuadrado de un número, que es el resultado de multiplicar dicho númeropor si mismo, no puede dar nunca un resultado negativo, ya que si el número es positivo “más por más” dará un resultado positivo y si el número es negativo “menos por menos” dará también un resultado positivo.
Este es el motivo por el que, en principio, no se puede extraer la raíz cuadrada de un número negativo. Por ejemplo,  no puede ser igual a 2 ya que 2·2 = 4, ni tampoco -2, ya que (-2)·(-2)= 4.
El número i
Queda entonces claro que se puede asegurar que  , pero que no existe  . No existe como número real, pero nada nos impide definirlo como nuevo número al que llamaremos i.

Veamos qué sucede con este nuevo número que hemos obtenido cuando lo elevamos a diferentes potencias:

 
Y a partir de este punto se iría repitiendo la misma cadencia:
i5 = i
i6 = -1
i7 = -i
i8 = 1
Yasí sucesivamente.
Números complejos
Originalmente, la necesidad de hallar el valor de raíces cuadradas de números negativos apareció al intentar resolver determinadas ecuaciones de segundo grado. Se sabía que una ecuación del tipo ax2 + bx + c tenía dos soluciones que venían dadas por la fórmula:

Resolvamos el siguiente problema: Dividir 10 en dos partes cuyo producto sea 40. Llamemos x e ya esas dos partes. Sabemos que:
x + y = 10
x·y = 40
Aislando y = 10 – x y sustituyendo en la segunda ecuación se llega a:
x(10 –x) = 10x – x2 = 40
Y pasándolo todo al segundo miembro se tiene la ecuación de segundo grado x2– 10x + 40 = 0 cuyas soluciones serán:

Este es uno de los problemas que aparece en la obra Ars Magna de Girolamo Cardano(1501-1576) publicada en 1545. Cardano estudia...