norma de construccion 3.2

Cap´ıtulo 4
Las Funciones Trigonom´etricas
Inversas
4.1. Relaciones y sus inversas
Recordemos que una relaci´on es un subconjunto de un producto cartesiano,
es decir R ⊆ A × B obien R : A −→ B, en tanto que su relaci´on inversa
R−1 : B −→ A, o bien
R−1 = {(y, x) / (x, y) ∈ R}
El gr´afico de R esta dado por el conjunto de puntos
{(x, y) / x ∈ DomR; (x, y) ∈ R}y el de su relaci´on inversa
{(y, x) / y ∈ DomR−1; (x, y) ∈ R}
note que DomR = RecR−1 ∧ DomR−1 = RecR ver gr´afico
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Luis Zegarra A. Las Funciones Trigonom´etricas Inversas 79Conservando la variable x, siempre para el dominio y la variable y para el
recorrido, tenemos
R−1 = {(x, y) / x ∈ DomR−1; (y, x) ∈ R}
as´ı DomR−1 ⊆ eje X ∧ RecR−1 ⊆ eje Y , por tantogr´aficamente
Del gr´afico se obtiene:
DomR = RecR−1 = [a, b]; a, b ∈ R
RecR = DomR−1 = [c, d], c, d ∈ R
Por tanto los gr´aficos de R y R−1 son sim´etricos uno de otro con respecto
a larecta bisectriz del 1er. cuadrante.
Luis Zegarra A. Las Funciones Trigonom´etricas Inversas 80
4.2. Gr´afico de la Relaci´on inversa del seno
En base a lo anterior podemos trazar lagr´afica de la relaci´on inversa de
y = sen x (haciendo la simetr´ıa con respecto a la recta y = x, del gr´afico
del seno)
De inmediato del gr´afico confirmamos que se trata de una relaci´oninversa
y no de una funci´on, pues ∀ x ∈ DomR−1 existen varios y con y ∈ R.
Notaci´on
A la relaci´on inversa del seno se acostumbra en denotar por: y = Sen−1x o
bien y = Arcsen xpara ambos casos se tiene que x = sen y
Como −1 ≤ sen y ≤ 1, ∀ y ∈ R =⇒ DomR−1 = [−1, 1] y por tanto
RecR−1 = R.
Pero nuestro fin es hablar de la funci´on inversa del seno por tanto re-stringiendo el recorrido de la relaci´on inversa del seno (o bien el dominio de
la funci´on seno ), podemos obtener ”funciones”inversas del seno seg´un estos
intervalos (o ramas)...