normas señales y sistemas

Pontificia Universidad Católica del Perú
ICA624: Control Robusto

3. Normas de Señales y Sistemas
Normas H2 , H∞ y su cálculo.

Hanz Richter, PhD
Profesor Visitante
Cleveland State University
Mechanical Engineering Department

1 / 13

Preliminares: Espacios L2 y H2
Preliminares:
Espacios L2 y
H2
Espacios L∞ y
H∞ ...
Norma H∞
Normas de
Sistemas: Norma
H2
InterpretaciónTemporal de la
Norma H∞
Cálculo de la
Norma H∞
Cálculo de la
Norma H2
Ejemplo
Propiedad
Submultiplicativa:
H∞ vs. H2

⊲

Consideremos funciones de variable compleja y con valor matricial
complejo F (s) (imaginarse que F (jw) es la transformada de
Fourier de f (t)). El espacio L2 (jR) está formado por todas las F
tales que la siguiente integral converge:
∞

traza [F ∗ (jw)F (jw)]dw−∞

Una función compleja F (s) : S → C definida en un conjunto
abierto S ⊂ C es analítica en un punto z0 ∈ S si es diferenciable
en z0 y en todo punto de alguna vecindad de z0 .

2 / 13

Espacios L2 y H2 ...
Preliminares:
Espacios L2 y
H2
Espacios L∞ y
H∞ ...
Norma H∞
Normas de
Sistemas: Norma
H2
Interpretación
Temporal de la
Norma H∞
Cálculo de la
Norma H∞
Cálculo de laNorma H2
Ejemplo
Propiedad
Submultiplicativa:
H∞ vs. H2

⊲

El espacio H2 es un subespacio de L2 (jR) restringido a F (s)
analíticas en S = {s ∈ C : Re (s) > 0} (lado derecho abierto de
C). Se define una norma para las funciones de H2 como:
1
||F ||2 =
2
2π

∞

traza [F ∗ (jw)F (jw)]dw

−∞

Notas:
1. Al restringir F (s) al lado derecho abierto, se excluyen de H2
funcionescon polos allí.
2. La notación H2 se usa para varias cosas: el espacio en sí, la
norma de funciones, el espacio de operadores, la norma de
operadores y el método de diseño. Se precisa el uso del
término de acuerdo al contexto.

3 / 13

Espacios L∞ y H∞ ...
Preliminares:
Espacios L2 y H2
Espacios L∞ y
H∞ ...
Norma H∞
Normas de
Sistemas: Norma
H2
Interpretación
Temporal de la
NormaH∞
Cálculo de la
Norma H∞
Cálculo de la
Norma H2
Ejemplo
Propiedad
Submultiplicativa:
H∞ vs. H2

⊲

El espacio L∞ (jR) está formado por todas las F esencialmente
acotadas tales que la siguiente cantidad es finita:
ess sup σ [F (jw)]
¯
w∈R

Nota: F es “esencialmente acotada” si lo es excepto por un conjunto de
medida cero (”puntos aislados”). De manera similar, el supremoesencial es la mínima cota superior excluyendo dichos “puntos aislados”.

El espacio H∞ es un subespacio de L∞ (jR) restringido a F (s)
analíticas y acotadas en el lado derecho abierto de C. Se define
una norma para las funciones de H∞ como:
||F ||∞ = sup σ [F (jw)]
¯
w∈R

4 / 13

Notas
Preliminares:
Espacios L2 y H2
Espacios L∞ y
H∞ ...
Norma H∞
Normas de
Sistemas: Norma
H2Interpretación
Temporal de la
Norma H∞
Cálculo de la
Norma H∞
Cálculo de la
Norma H2
Ejemplo
Propiedad
Submultiplicativa:
H∞ vs. H2

⊲

Se usan RH2 y RH∞ para los respectivos subespacios
restringidos a funciones reales-racionales (cocientes de
polinomios con coeficientes reales) estrictamente propias
(grado del denom. > grado del numer.) y estables.
Rara vez se tiene que calcular la normade una señal. Usamos
la definición para construir la norma inducida para el operador
entre señales (sistema).

5 / 13

Normas de Sistemas: Norma H∞
Preliminares:
Espacios L2 y H2
Espacios L∞ y
H∞ ...
Norma H∞
Normas de
Sistemas: Norma
H2
Interpretación
Temporal de la
Norma H∞
Cálculo de la
Norma H∞
Cálculo de la
Norma H2
Ejemplo
Propiedad
Submultiplicativa:
H∞ vs. H2

⊲Sea G(s) una matriz de transferencia tal que Y (s) = G(s)U (s).
Supongamos que G(s) ∈ L∞ . Definamos una norma para el
operador G como
||G|| =

sup
u∈L2 ,||u||≥1

||y||2
||u||2

Esta definición es similar a la usada para la norma 2 inducida
para matrices. Se puede demostrar (ver Zhou y Doyle) que
||G|| = ||G||∞ = sup σ [G(jw)]
¯
w∈R

Para el caso SISO, ||G||∞ es simplemente el...