Nose

Concavidad
Definición
Derivada segunda
Se llama derivada segunda de una función f(x) a la derivada de la derivada de dicha función.
Notación: f''(x).
Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función.
Definición
Ecuación de la recta tangente a una función f en x=a
La ecuación de una recta que pasa por el punto (a,f(a)) es y = m(x-a) + f(a), siendo m la tangente delángulo que forma la recta con el eje ox.
Para obtener la ecuación de la recta tangente a f en x=a, m debe ser f'(a).

Ecuación de la tangente: y = f'(a)(x-a) + f(a)
Definición
Concavidad
f presenta concavidad positiva en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a).

La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido dea, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a.
f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) < f'(a)(x-a) + f(a).

La función presenta concavidad negativa en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

Definición
Punto deinflexión
f presenta un punto de inflexión en x=a si existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) < f'(a)(x-a) + f(a) (o viceversa: f menor a la izquierda y mayor a la derecha).

En el semientorno izquierdo de a, f está por encima de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por debajo de latangente.


En el semientorno izquierdo de a, f está por debajo de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por encima de la tangente.
Teorema
Condición suficiente para la existencia de concavidad positiva
Si la derivada segunda de una función f(x) es positiva en el punto a, entonces tiene concavidad positiva en dicho punto.

H) f''(a)>0
T) f tieneconcavidad positiva en x=a
Demostración:
Existe f''(a) => existe f'(a) => (teorema) f es continua en x=a.
Sea g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)
g'(x) = f'(x) - f'(a)
g''(x) = f''(x)
g''(a) = f''(a) > 0 => por Cond. suf. para el crecimiento puntual g'(x) es creciente en x=a
=> por def. de crecimiento puntual existe δ>0 / para todo x1 perteneciente a (a - δ,a) g'(x) < g'(a) = 0 y para todo x2perteneciente a (a, a + δ) g'(x) > g'(a) = 0
signo de g'(x):
- 0 +
-------|-------
a
=> por Cond. suf. para la existencia de mínimo relativo g presenta un mínimo relativo en x=a.
=> por def. de mínimo relativo existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a g(x) > g(a) = 0.
f(x) - f'(a)(x - a) - f(a) > 0
f(x) > f'(a)(x - a) + f(a) => por definición f tiene concavidad positivaen x=a.
Teorema
Condición suficiente para la existencia de concavidad negativa
Si la derivada segunda de una función f(x) es negativa en el punto a, entonces tiene concavidad negativa en dicho punto.

H) f''(a) < 0
T) f tiene concavidad negativa en x=a
La demostración es análoga a la anterior.
Teorema
Condición suficiente para la existencia de puntos de inflexión
H) La derivada segundade f(x) es negativa en un semientorno del punto a y positiva en el otro semientorno
T) f presenta un punto de inflexión en x=a
Demostración:
Sea g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)
g es derivable y continua en x=a.
g'(x) = f'(x) - f'(a)
g'(a) = 0
g''(x) = f''(x) =>
signo de g''(x):
- +
-------|-------
a
=> por cond. suf. para la existencia de mínimo relativo g'presenta un mínimo relativo en a
=> por def. de mínimo relativo, existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a g'(x) > g'(a) = 0
signo de g'(x):
+ 0 +
-------|-------
a
=> g es creciente en a

La tangente a g en x=a es horizontal, pero igual g es creciente. La gráfica de g cerca de a es algo como
por def. de crecimiento puntual, existe δ > 0 / para todo x...