notas de lógica elemental

1. LÓGICA.

Un capítulo de lógica lo constituye la teoría de proposiciones, la cual se divide en dos ramas: La sintaxis, que se ocupa de la estructura y composición de las proposiciones y la semántica, que se ocupa de conceptos relacionados con la interpretación de las proposiciones; conceptos entre los que figuran el de validez, el de implicación y el de equivalencia entre proposiciones.1.1 Proposición.
Una proposición lógica es una frase que tiene la propiedad de ser falsa o verdadera, y sólo una de estas posibilidades.
Para mencionar una proposición se usan las letras minúsculas: p, q, r, s,… en algunas ocasiones se usan dichas letras con subíndices: p1, p2, …, pk.

Ejemplos.
1. El conjunto de los números primos es finito.
2. 5+3=8.
3. -6 es un número negativo.4. 7 es mayor que 8.
5. Los números reales son un campo ordenado.

Ejercicio.
1. Escriba 5 proposiciones simples.

1.1.1 Proposiciones compuestas.
Las proposiciones compuestas están constituidas por dos o más proposiciones simples, y las de uso más frecuente son: conjunciones, disyunciones, condicionales y bicondicionales.
Una conjunción es de la forma: p y q, una disyunción es de laforma: p o q, una condicional es de la forma: Si p …entonces q; y una bicondicional es de la forma p si y sólo si q.
Para representar dichas proposiciones simbólicamente, se utiliza respectivamente la siguiente notación: p  q, p v q, p  q y p  q.
Los símbolos , ,  y , se conocen como conectores lógicos, así podemos caracterizar a las proposiciones simples como aquellas que nocontienen conectores lógicos.
En una condicional, la proposición p se llama antecedente o hipótesis y la proposición q se llama consecuente o tesis.
Llamaremos negación de la proposición p, a la proposición que tenga la forma: Es falso que p.

Ejemplos.
1. Es falso que 15 es un número primo.
2. No es cierto que 5 3, entonces x>1.
4. No es cierto que 3=4.
5. 100 es par y es múltiplo de 5.6. 3>4 y 3+4= 7.
7. 3>4 pero 3+4=7.
8. 22 es par o es múltiplo de 2.
9. x5.
10. x es racional o x es irracional.
11. Si un triángulo tiene un ángulo de 90°, entonces es un triángulo rectángulo.
12. Si x=y. entonces x+y es par.
13. Si x=0, entonces x+y=y.
14. Si x es múltiplo de 2, entonces x es par.
15. Si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces las rectas son paralelas.Ejercicio.
2. Escriba 2 proposiciones lógicas de cada una de las proposiciones compuestas que se han definido.
Para definir a las proposiciones compuestas, considere que p y q son dos proposiciones lógicas simples.


Definición.
Una conjunción es verdadera cuando y sólo cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas.
Una disyunción es verdadera cuando y sólo cuando algunas delas proposiciones que la forman es verdadera.
Una condicional es verdadera en cualquiera de los casos siguientes:
a. El consecuente es verdadero.
b. El antecedente es falso.
Una bicondicional es verdadera si ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad.
Estas definiciones dan lugar a las siguientes tablas, llamadas tablas de verdad.
p
q
p  q
p v q
p  q
p q
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1

Algunas formas que se pueden usar para enunciar a las proposiciones condicionales son:
p sólo si q.
Para que p es necesario que q.
El que p es suficiente para que q.
El que p implica q.
Si p, también q.
A cada condicional se le asocian otras dos proposiciones: la recíproca y la contrarrecíproca (ocontrapuesta).
Si la condicional en cuestión es: p entonces q, entonces su recíproca será: q entonces p, y su contrarrecíproca - q entonces – p.



Ejemplos
Dada la condicional: Si un triángulo es isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.
Su recíproca es: Si los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales, el triángulo es isósceles.
Y su...