Notas logica conjuntos

Programa
I Lógica proposicional e introducción a los conjuntos.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10

Proposiciones lógicas y conectivos.
Tablas de verdad.
Equivalencias.
Cuantificadores.
Razonamientos.
Métodos de demostración.
Conjunto universal y subconjuntos.
Igualdad de conjuntos.
Álgebra de conjuntos.
Producto cartesiano.

1

II Números reales

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10Axiomas de campo
Consecuencias de los axiomas de campo.
Operaciones con igualdades.
Ecuaciones de primero y segundo grado.
Axiomas de orden.
Consecuencias de los axiomas de orden.
Intervalos e inecuaciones.
Valor absoluto y propiedades.
Ecuaciones e inecuaciones que involucren valor absoluto.
Axioma del supremo.

2

III Funciones
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9

Concepto de función.
Igualdadde funciones.
Gráfica de una función.
Funciones elementales.
Operaciones entre funciones.
Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
Función inversa.
Funciones trigonométricas y sus inversas.
Funciones exponenciales y logarítmicas.

3

Lógica
Una proposición lógica es un enunciado del que se puede afirmar que
es verdadero o falso, pero no las dos cosas al mismo tiempo.
Ejemplos:
1) 2 + 4 =12.
2) Cartagena es la capital de Bolivia.
3) El sistema binario utiliza dos símbolos para representar los números.

Todos estos son ejemplos de proposiciones lógicas, ya que de todas se
puede decir con toda seguridad que son verdaderas o falsas.

4

Entre algunas expresiones que no son proposiciones lógicas tenemos:
1)
2)
3)

No corra.
Hace mucho calor.
La manzana es muy sabrosa.

Siempre quehablemos de una proposición nos referiremos a una proposición
lógica.
Existen proposiciones las cuales no sabemos su valor de verdad hasta saber
exactamente de quién o de quienes nos habla. A este tipo de proposiciones se
les llama proposiciones abiertas. Por ejemplo, si x representa cualquier
número. Entonces la proposición: “x es mayor que tres” (en símbolos: x > 3) es
una proposición abierta, yaque su valor de verdad depende de quién sea x.
Otro ejemplo sería:

“Juan tiene más de 20 años”.

El valor de verdad de esta proposición lo sabremos hasta saber quien es Juan.

5

Ejercicios:
Escribir 3 proposiciones
que sean lógicas y 3
proposiciones que no
sean lógicas.

Las proposiciones se representar por las letras minúsculas p, q, r, s, t, ... Estas letras
reciben el nombre de variablesproposicionales.
A cualquier proposición se le puede asignar el valor de V o F, que representa el valor de
verdad de la proposición, ya sea verdadero o falso respectivamente.
Las proposiciones definidas hasta ahora son proposiciones simples. Se puede decir
que una proposición simple es el menor enunciado con carácter verdadero o falso.
Todas las proposiciones no simples se denominan proposicionescompuestas. Una
proposición compuesta es, entonces, la formada por dos o más proposiciones simples
unidas mediante un símbolo llamado conectivo lógico.
6

Conectivos Lógicos
Definición. Cuando una proposición se puede escribir en la forma
(proposición) y (proposición)
Se le llamará conjunción.
Definición. Cuando una proposición se puede escribir en la forma
(proposición) o (proposición)
Se lellamará disyunción.
Definición. Cuando una proposición se puede escribir en la forma
Si (proposición) entonces (proposición)
Se le llamará implicación o condicional.
Definición. Una proposición la llamaremos negación si es de la forma
Es falso que (proposición)

7

Los conectivos lógicos se denotan de la manera siguiente:

y

Λ

o

V

Si…entonces…

→

Es falso que…

¬

Nota: La palabra “y” no siempredenota conjunción como en el caso de:
“Carlos y Laura son hermanos”.
También se pueden utilizar otras palabras para denotar conjunción, como
por ejemplo: “pero”, “además”, “más aún”. Por ejemplo:
“2 es un número primo pero es par”
“El número dos es primo además de ser par”
“El número dos es par, más aun, es primo
8

Ejemplo. Escribir en su forma
lógica la siguiente proposición.

Solución....