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Calculo diferencial e Integral para principiantes

Humberto Martínez Brito

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (WILLIAM ANTONY GRANVILLE)

PROBLEMAS (funciones)

1. Dado f(x)=x3-5x2-4x+20, demostrar que

f(1)=12, f(5)=0, f(0)=-2 f(3), f(7)=5 f(-1).

2. Si f(x)=4-2x2+x4, calcular f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2)

3. Si F (θ)=sen2θ+cosθ, hallar F (0), F(1/2π), F (π).

4. Dado f(x)= x3-5x2-4x+20, demostrar que

f (t+1)=t3-2t2-11t+12

5. Dado f(y)=y2-2y+6, demostrar que

f (y+h)=y2-2y+6+2(y-1)h+h2

6. Dado f(x)=x3+3x, demostrar que

f(x+h)-f(x) =3(x2+1) h+3xh2+h3.

7. Dado [pic] , demostrar que [pic] .

8. Dado [pic], demostrar que [pic].

9. Si [pic], demostrar que [pic].

10. Dado[pic] , demostrar que [pic].

11. Dado f(x)=sen x, demostrar que

f(x+2h)-f(x) =2cos(x+h) senh.

PROBLEMAS (Límites)

DEMOSTRAR CADA UNA DE LAS SIGUIENTES IGUALDADES:

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]

4. [pic][pic].

5. [pic]

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

PROBLEMAS (DERIVACIÓN POR LÍMITES)REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN

PRIMER PASO. Se sustituye en la función x por x+Δ, y se calcula el nuevo valor de la función y+Δy.

SEGUNDO PASO. Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene Δy(incremento de la función).

TERCER PASO.

CUARTO PASO.

EJEMPLO 1. Hallar la derivada de función 3x2+5.

Resolución. Aplicando los pasos sucesivos de la regla general,obtenemos, obtenemos después de hacer.

y=3x2+5,

Primer paso. y +Δy=3(x+Δx)2+5

=3x2+6x•Δx+3(Δx)2+5.

Segundo Paso. y+ Δy=3x2+6x•Δx+3(Δx)2+5.

y =3x2 +5.Δy= 6x•Δx+3(Δx)2

Tercer Paso [pic]

Cuarto Paso. En el segundo miembro hagamos Δx→0. Según (A) resulta:

[pic]

[pic]

O bien,

[pic]

EJEMPLO 2.

EJEMPLO 3.

Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

29.

PROBLEMAS

Aplicando las derivadas hallar las pendientes y la inclinación de la tangente a cada una de las curvas siguientes en el punto cuya abscisa indica. Verificar el resultado trazando la curva y la tangente.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

PROBLEMAS (DERIVADAS CON TABLAS DE DERIVACIÓN)Hallar la derivada de las siguientes funciones.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones

42.43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el valor dy/dx para el valor dado de x.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

PROBLEMAS

Hallar dy/dx para cada una de las funciones siguientes:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.13.

14.

15.

16.

17.

18.

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20.

21.

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23.

24.

25.

26.

27.

28.

PROBLEMAS ADICIONALES

1.

2.

3.

4.

5.

6.

APLICACIONES DE LA DERIVADA (VALORES MÁXIMO Y MINIMO DE UNA FUNCIÓN)

1. Supongamos, por ejemplo, que se desea hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un círculo de 5 cm de radio....
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