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ACADEMIA TAMARGO, S.L.
Formulario de Matemáticas - 2º BCN - 2 BT -
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FORMULARIO Matemáticas II
(2º de Bachillerato)
ALGEBRA
MATRICES. DEFINICION: Se llama matriz de dimensión m x n a un conjunto de números reales
dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:
TIPOS DE MATRICES:Matriz rectangular (matriz fila, matriz columna)
Matriz cuadrada ( Matriz triangular superior,Matriz triangular inferior,
Matriz triangular, Matriz diagonal, Matriz escalar, Matriz identidad, Matriz
nula)
RANGO DE UNA MATRIZ : Número de filas o columnas linealmente independientes. Es el orden del mayor
menor complementario distinto de cero.
OPERACIONES CON MATRICES
MATRIZ TRASPUESTA (At)
   


   


a a a
a a a
a a a
A =
31 32 33
21 22 23
11 12 13
   

   


a a a
a a a
a a a
A =
13 23 33
12 22 32
11 21 31
t
Propiedades: 1.-) (At)t = A
2.-) (A+B)t = At+Bt
3.-) (kA)t = kAt
4.-) (AB)t = BtAt
5.-) |At| = |A|
Matriz simétrica: A simétrica si At = A (aij=aji)
Matriz antisimétrica: A antisimétrica (o hemisimétrica) si At = -A (aij =-aji)
A
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
n
m m m mn
=





11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
...
...
...
... ... ... ... ...
...
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MATRIZ OPUESTA (-A)
   


   


a a a
a a a
a a a
A =
31 32 33
21 22 23
11 12 13
   


   


- - -
- - -
- - -
-
a a a
a a a
a a a
A =
31 32 33
21 22 23
11 12 13
PRODUCTO DE UNAMATRIZ POR UN ESCALAR (kA) = k(aij) = (kaij)
A (m,n)
a a a
a a a
a a a
A =
31 32 33
21 22 23
11 12 13
Î M
   


   


( ) (m,n)
31 32
21 23
11 12 31
Î M
   


   


kA
ka ka ka
k a ka ka
k a ka k a
kA =
33
22
SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES (A±B) = (aij) ±(bij)
A (m,n)
a a a
a a a
a a a
A =
31 32 33
21 22 23
11 12 13
Î M
   

   


B (m,n)
b b b
b b b
b b b
B =
31 32 33
21 22 23
11 12 13
Î M
   


   


( ) (m,n)
31 31 32 32 33 33
21 21 22 22 23 23
12 12 13 13
± Î M
   


   


± ± ±
± ± ±
± ± ±
±
A B
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
A B=
11 11
PRODUCTO DE MATRICES (AxB)
Î M(m,n)
   


   


A
a a a
a a a
a a a
A =
31 3233
21 22 23
11 12 13
Î M(n,p)
   


   


B
b b b
b b b
b b b
B =
31 32 33
21 22 23
11 12 13
( ) Î M(m,p)
   


   


AxB
a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b
a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b
a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b
AxB=
31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 31 13 32 23 33 33
21 11 22 21 23 31 2112 22 22 23 32 21 13 22 23 23 33
11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 11 13 12 23 13 33
El producto de matrices no es conmutativo
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DETERMINANTES
REGLA DE SARRUS (Resolución de determinantes de 2º y 3er orden).
= a a - a a
a a
a a
11 22 12 21
21 22
11 12
= a a a + a a a + a a a - a a a - a a a - a a a
a a a
aa a
a a a
11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31
31 32 33
21 22 23
11 12 13
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1.- det(A) = det(At)
2.- det(F1,F2,…,kFi,…,Fn) = k. det(F1,F2,…,Fi,…,Fn)
3.- det(F1,F2,…,Fi+Fi’,…,Fn) = det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) + det(F1,F2,…,Fi’,…,Fn)
4.- det(A.B) = det(A).det(B)
5.- det(F1,F2,…,Fi,…,Fj,…,Fn) = - det(F1,F2,…,Fj,…,Fi,…,Fn)
6.-det(F1,F2,…,Fi,…,Fi,…,Fn) = 0
7.- det(F1,F2,…,Fi,…,kFi,…,Fn) = 0
8.- det(F1,F2,…,0,…,Fn) = 0
9.- det(F1,F2,…,Fi,…,Fj,…,aFi+bFj,…,Fn) = 0
10.- det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) = det(F1,F2,…,aF1+bF2+Fi,…,Fn)
11.- det(kA) = kn det(A)
Menor complementario (aij) : El menor complementario del elemento aij de una matriz cuadrada A, de orden n,
es el determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al suprimir la...