Numerico

´
Indice general
2. Ecuaciones No Lineales.

1

2.0. Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

1

2.1. M´todo de la bisecci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
o

5

2.2. El M´todo de la Regula Falsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

6

2.3. M´todo de la Regula Falsi Modificado. . . . . . . . . . . . . .
e

9

2.4. El M´todode la Secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
e
2.5. El M´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
e
2.5.

Comparaci´n entre el m´todo de Newton y el de la
o
e
Secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6. El M´todo de Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
e
2.7. Teor´ General de los M´todos Iterativos . . .. . . . . . . . . 18
ıa
e
2.7.

M´todos iterativos de orden superior. . . . . . . . . . . 23
e

2.8. Ra´ M´ ltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ıces u
2.8.

M´todo de Newton para ra´ m´ ltiples. . . . . . . . . 26
e
ıces u

2.8.

M´todos generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
e

2.9. Estimaci´n de la tasa de convergencia en los m´todositerativos. 26
o
e
2.10. Aceleraci´n de la Convergencia: . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
o
2.10.

El Algoritmo Modificado de Aitken: . . . . . . . . . . . 29

2.11. Criterios de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.12. Ra´ de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
ıces
2.12.1. Regla de Horner. Deflaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . 33o
2.12.2. M´todo de Newton-Raphson aplicado a polinomios. . . 34
e

i

2.12.3. Estrategia de Wilkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.12.4. Ecuaciones Algebraicas mal condicionadas . . . . . . . 35
2.12.5. El M´todo de Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
e

ii

Cap´
ıtulo 2
Ecuaciones No Lineales.
2.0.

Introducci´n.
o

Problema general: Hallar x ∈ IRntal que F (x) = 0, siendo F : IRn →
IRm una funci´n no lineal. De manera equivalente, hallar x = (x1 , . . . , xn ) tal
o
que
f1 (x1 , . . . , xn )
f2 (x1 , . . . , xn )
.
.
.

0
0
.
.
.

fm (x1 , . . . , xn ) =
n

=
=
.
.
.

0

con fj : IR → IR,

j=1:m

Caso Particular 1:
con f : IR → IR

n = m = 1, es decir, hallar x ∈ IR tal que f (x) = 0

Caso Particular 2:Hallar una o m´s ra´ del polinomio
a
ıces
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0

an = 0

Ejemplo 2.0.1. Hallar la ra´z positiva de un n´mero a > 0.
ı
u
Definiendo f (x) = x2 − a, planteamos la b´ squeda de la ra´ positiva de
u
ız
2
f (x) = x − a = 0.
√
Sea x0 una aproximaci´n inicial a la soluci´n a. Tracemos la recta tano
o
gente a la gr´fica de f en el punto (x0 , f (x0 )).Sea x1 el punto de intersecci´n
a
o
de la tangente con el eje x, es decir,
1

x1 = x 0 −

1
f (x0 )
x2 − a
1
= x0 − 0
=
f (x0 )
2x0
2

a
x0
√

a. Repi-

n≥0

(2.1)

Esto nos da una mejor aproximaci´n a
o
tiendo el proceso tendremos que

(x0 , f (x0 ))
y = x2 − a
√
a
x1

x0 +

x0

xn+1 =

1
2

xn +

a
xn

,

Cada uno de estos pasos se llamauna “iteraci´n” (o aproximaci´n sucesio
o
va); xn se llama el “iterado n−´simo” y generalmente se espera que el iterado
e
xn+1 mejore los resultados previos.
√
Analicemos la convergencia de la sucesi´n {xn } a a.
o
√
1
xn+1 − a =
2

a
xn +
xn

√
√
√
x2 + a − 2 axn
1
n
− a=
=
(xn − a)2
2xn
2xn

(2.2)

√
∀n.
Dea esta cexpresi´n resulta que si 0 < x0 < +∞, xn ≥ a > 0
oc
Adem´s, α b
a
1
a
1
xn − xn+1 = xn − xn −
=
(x2 − a);
2
2xn
2xn n
√
Por ser xn > √, resulta que {xn } es una sucesi´n decreciente acotada infea
o
riormente por a. As´ existe α > 0 tal que l´ xn = α
ı,
ım
n→∞

Tomando l´
ımite en (2.1) resulta
α=
obteni´ndose α =
e

√

1
a
α+
2
α

a.

Analicemos ahora la velocidad de convergencia; usando la f´rmula (2.2) y...