Numero complejo

Número complejo


Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo  el conjunto de los reales se cumple que . Losnúmeros complejos incluyen todas lasraíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas delas matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en laelectrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas yla corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado ntiene exactamente n soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros yconstituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
Índice
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1 Origen
2 Definición
2.1 Cuerpo de los números complejos
2.2 Unidad imaginaria
3 Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado
3.1 Valor absoluto o módulo de unnúmero complejo
3.2 Argumento
3.3 Conjugado de un número complejo
4 Representaciones
4.1 Representación binómica
4.2 Representación polar
4.3 Operaciones en forma polar
5 Plano de los números complejos o Diagrama de Argand
6 Geometría y operaciones con complejos
7 Esbozo histórico
8 Aplicaciones
8.1 En matemáticas
8.1.1 Soluciones de ecuaciones polinómicas
8.1.2 Variable compleja o análisiscomplejo
8.1.3 Ecuaciones diferenciales
8.1.4 Fractales
8.2 En física
9 Generalizaciones
10 Véase también
[editar]Origen
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajofue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales,geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.
[editar]Definición
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que sedefinen las siguientes operaciones:
Suma

Producto por escalar

Multiplicación

Igualdad


A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
Resta

División


Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquelen el que  .
[editar]Cuerpo de los números complejos
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no...