Final Variable Compleja
Páginas: 3 (598 palabras)
Publicado: 17 de agosto de 2015
CONVERGENCIA DE
SUCESIONES
n0
Іzn- zІ < ε siempre que n > n
0
1
sucesion convergente,
converge a z
zn = z
sucesion divergente
2
TEOREMA
Sean zn = xn + iyn (n = 1,2,…) y z = x + iy.Entonces,
zn = z
xn = x y
yn = y
3
CONVERGENCIA DE SERIES
Una serie de numeros complejos
zn = z 1 + z 2 + … + z n + …
Se dice que es convergente y que converge con suma S, si la
sucesion de sus sumasparciales
SN =
zn = z1 + z2 + …+ zN (N = 1, 2, …)
converge a S
En tal caso, escribimos
zn = S
4
TEOREMA
Sean zn = xn + iyn (n = 1, 2,…) y S = X + iY
zn = S
xn = X
y
yn = Y
Este teorema nosdice que podemos escribir
(xn + iyn) =
xn + i
yn
5
Condicion necesaria para la
convergencia de la serie
z n = z 1 + z2 + … + z n + …
zn = 0
6
SERIES DE TAYLOR
Teorema. Sea f una funcionanalitica en un disco
Iz – z0I < R0, centrado en z0 y de radio R0.
Entonces, f(z) admite la representacion en serie
de potencias
n
f ( z ) an ( z zo ) ,
n 0
1 (n)
an f ( z o )
n!
La serieconverge a f(z) si z
pertence al disco abierto
7
SERIE DE LAURENT
Teorema. Sea f(z) una funcion analitica en el anillo R1 < Iz – z0I < R2,
centrado en z0. sea C cualquier camino cerrado simple,orientado
positivamente, que rodea a z0 y está contenido por completo en ese dominio
anular. Entonces, en todo punto de ese dominio f(z) admite la
representacion
(R1 < Iz – z0I < R2)
donde
y
8
Otra formade escribir la expresion anterior es
(R1 < Iz – z0I
donde
En cualquiera de las dos formas de f(z), se llama serie
de Laurent.
9
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y UNIFORME DE SERIES
DE POTENCIASTeorema. Si una serie
converge en z = z1
(con z
z1), es absolutamente convergente en
todo punto z del disco abierto Iz – z0I < R1, donde R1
= Iz1 – z0I
10
Teorema. Sea Iz – z0I = R la circunferenciafrontera
del disco de convergencia de una serie de
potencias
y sea z1 un punto interior de
ese disco. Entonces, la serie es uniformemente
convergente en el disco cerrado Iz – Z0I ≤ R1, donde
R1 = Iz1 –...
SUCESIONES
n0
Іzn- zІ < ε siempre que n > n
0
1
sucesion convergente,
converge a z
zn = z
sucesion divergente
2
TEOREMA
Sean zn = xn + iyn (n = 1,2,…) y z = x + iy.Entonces,
zn = z
xn = x y
yn = y
3
CONVERGENCIA DE SERIES
Una serie de numeros complejos
zn = z 1 + z 2 + … + z n + …
Se dice que es convergente y que converge con suma S, si la
sucesion de sus sumasparciales
SN =
zn = z1 + z2 + …+ zN (N = 1, 2, …)
converge a S
En tal caso, escribimos
zn = S
4
TEOREMA
Sean zn = xn + iyn (n = 1, 2,…) y S = X + iY
zn = S
xn = X
y
yn = Y
Este teorema nosdice que podemos escribir
(xn + iyn) =
xn + i
yn
5
Condicion necesaria para la
convergencia de la serie
z n = z 1 + z2 + … + z n + …
zn = 0
6
SERIES DE TAYLOR
Teorema. Sea f una funcionanalitica en un disco
Iz – z0I < R0, centrado en z0 y de radio R0.
Entonces, f(z) admite la representacion en serie
de potencias
n
f ( z ) an ( z zo ) ,
n 0
1 (n)
an f ( z o )
n!
La serieconverge a f(z) si z
pertence al disco abierto
7
SERIE DE LAURENT
Teorema. Sea f(z) una funcion analitica en el anillo R1 < Iz – z0I < R2,
centrado en z0. sea C cualquier camino cerrado simple,orientado
positivamente, que rodea a z0 y está contenido por completo en ese dominio
anular. Entonces, en todo punto de ese dominio f(z) admite la
representacion
(R1 < Iz – z0I < R2)
donde
y
8
Otra formade escribir la expresion anterior es
(R1 < Iz – z0I
donde
En cualquiera de las dos formas de f(z), se llama serie
de Laurent.
9
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y UNIFORME DE SERIES
DE POTENCIASTeorema. Si una serie
converge en z = z1
(con z
z1), es absolutamente convergente en
todo punto z del disco abierto Iz – z0I < R1, donde R1
= Iz1 – z0I
10
Teorema. Sea Iz – z0I = R la circunferenciafrontera
del disco de convergencia de una serie de
potencias
y sea z1 un punto interior de
ese disco. Entonces, la serie es uniformemente
convergente en el disco cerrado Iz – Z0I ≤ R1, donde
R1 = Iz1 –...
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