Numeros Complejos

LOS NÚMEROS COMPLEJOS
por Jorge José Osés Recio
Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia - 2004
Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax2+ bx + c = 0 se analizó el signo del
discriminante b2 - 4ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la
ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eranimaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar
los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y
una extensión de los conjuntos numéricos.Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del
conjunto de los números complejos.
Sección 1
Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.
Definición. Llamamos conjunto delos números complejos y lo denotamos con la letra £ al conjunto de
los pares de números reales (a,b) en el cual definimos las siguientes operaciones:
Suma. (a,b) + (c,d ) = (a + c,b + d )Multiplicación. (a,b) (c, d ) = (ac - bd , ad + bc)
En el número complejo (a,b) llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Note que la
suma y producto de pares no está definida en ¡2 .
Dospropiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:
Igualdad. (a,b) = (c, d )Û a = c Ù b = d
Multiplicación por un escalar. a(a,b) = (a a,a b) donde a Ρ .Ejemplo. Dados (2,1) y (0,-3) , hallar:
a) (2,1)+ (0,-3) = (2 + 0,1+ (-3) ) = (2,- 2)
b) (2, 1)(0,- 3) = (2(0) -1(-3), 2(-3) +1(0)) = (3, - 6)
c) (2,1)(0,-3) - 2(-1,1) = (3,- 6 )+(2,- 2) = (5,-8)
1Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los
mismos mediante el plano ¡2 (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje delas x y
eje imaginario (Im) al eje de las y .
Gráfica 1: Representación del número complejo (a,b) .
Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que...