Numeros complejos

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Radicación de un número complejo
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula De Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360°.
Sea Rα un número complejo y considérese otro complejo R´α´, tal que
Rα= (R´ α´)n = ((R´)n)n α´
Esto equivale a que (R´)n = R, olo que es lo mismo, que R´ =, y que
n. α ´ = α + k.360°  α´ = α/n + k.360°/n, donde k es un entero arbitrarios. Es decir,
Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n - 1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.
Ejercicio: cálculo de raíces de un número complejo
Hallar las raíces cúbicas de 8.
Resolución:
El método descrito permitecalcular raíces únicamente en la forma módulo-argumental. Se debe escribir el número 8 en dicha forma:

tg α = 0/8 = 0, con lo que α = 0° ó α = 180°.
Como la parte real de 1 es positiva el valor adecuado es α = 0°.
Calculando los valores precisos:

Así, las raíces cúbicas son las que tienen módulo igual a 2 y argumento 0° + 120° k, donde k puede tomar los valores 0, 1 y 2.
Se tienen pues las tresraíces:
20° = 2(cos 0° + i.sen 0°) = 2(1 + 0.i) = 2

Hallar las raíces cuartas de 2 + 2 i.
Resolución:
En primer lugar se calcula el módulo y el argumento de 2 + 2 i:
|2 + 2.i| = =√8
tg α = 2/2 = 1, con lo que α = 45°, ya que ha de hallarse en el primer cuadrante. El módulo de todas las raíces cuartas será:
=
Para hallar los argumentos hay que calcular 45°/4 = 11° 15´ y 360°/4 = 90°Dando a k los valores 0, 1, 2 y 3 se obtienen las cuatro raíces cuartas de 2 + 2 i,que son:
. (Cos 11° 15´ + i.sen 11° 15´) = 1, 297. (0,981 + 0,195.i) = 1,272 + 0,253.i
. (Cos 101° 15´ + i.sen 101° 15´) = 1, 297. (-0,195 + 0,981.i) = -0,253 + 1,272.i
. (Cos 191° 15´ + i.sen 191° 15´) = 1,297. (-0,981 - 0,195.i) = -1,272 - 0,253.i
. (Cos 281° 15´ + i.sen 281° 15´) = 1,297. 0,195 - 0,981.i) =0,253 - 1,272.i
Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.
Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.
Usando este tipo de representación, la suma de complejos secorresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores y su suma es
 

 
Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de es .
El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de es .
El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto delorigen.
 

Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un número en la forma .
En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.
2. Forma polar o módulo-argumento
Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar oforma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde  es un argumento de , esto es,  es un ángulo tal que

Es claro, por tanto, que si es un valor particular del argumento de , entonces

Se verifica entonces que
.
Dos números complejos y , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentosse diferencian en un número entero de vueltas, es decir, , con .
La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si , y , entonces

 

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:
,...
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