Numeros complejos

Breve historia de los Numeros Complejos
Teniendo conocimiento de c´omo la raza humana
ha adquirido su sabidur´ıa sobre ciertos
hechos y conceptos, estaremos en mejor disposici
´on de juzgar c´omo los ni˜nos adquieren
tal conocimiento.

George P´olya (1887-1985)
Primeras referencias: SI-SXII
La primera referencia escrita de la ra´ız cuadrada de un n´umero negativo la encontramos en laobra Stereometr´ıa de Her´on de Alejandr´ıa (Greciaaprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I.
Es este trabajo comparece la operaci´on
√
81 − 144 aunque es tomada como
√
144 − 81, no sabi´endose
si este error es debido al propio Her´on o al personal encargado de transcribirlo.
La siguiente referencia sobre esta cuesti´on se data en el a˜no 275 en la obra de Diophantus (aprox.
200-284)Arithmetica. En su intento de c´alculo de los lados de un tri´angulo rect´angulo de per´ımetro
12 y ´area 7, Diophantus plante´o resolver la ecuaci´on 336x2+24 = 172x, ecuaci´on de ra´ıces complejas
como puede ser comprobado f´acilmente.
Son los matem´aticos hind´ues los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas.
Mahavira, alrededor del a˜no 850, comenta en su tratado de losn´umeros negativos que ”como en
la naturaleza de las cosas una catidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener ra´ız
cuadrada”. Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma:
El cuadrado de un n´umero, positivo o negativo, es positivo; la ra´ız cuadrada de
un n´umero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe ra´ız
cuadrada de unn´umero negativo ya que un n´umero negativo no es un cuadrado.
Primeros estudios: SXVI
J. Cardan (1501 - 1576)
En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matem´atico, f´ısico y fil´osofo italiano, publica
”Ars Magna” (El Gran Arte) en el cual describe un m´etodo para resolver ecuaciones algebraicas de
grado tres y cuatro. Esta obra se convert´ıa as´ı en el mayor tratado de ´algebra desde losBabil´onicos,
3000 a˜nos antes, que dedujeron c´omo resolver la ecuaci´on cuadr´atica.
Un problema planteado por Cardan en su trabajo es el siguiente:
An´alisis Matem´atico VI - Curso 2006/2007
Breve historia de los N´umeros Complejos 2
Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente que
esta cuesti´on es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de lasiguiente forma.
Cardan aplicaba entonces su algoritmo al sistema de ecuaciones x+y = 10, xy = 40 dando como
soluciones 5 +
√
−15 y 5 −
√
−15. Por multiplicaci´on probaba Cardan que el producto era 40. Esta
es la primera constancia escrita de la ra´ız de un n´umero negativo y de su manejo algebraico.
Cardan tambi´en tropieza con estas ra´ıces en las soluciones que presenta de la ecuaci´onc´ubica
x3 = ax + b. Tales soluciones vienen dadas por:
x =
3
____
b
2
+
__
b
2
_2
−
_a
3
_3
+
3
____
b
2
−
__
b
2
_2
−
_a
3
_3
.
Para la ecuaci´on x3 = 15x+4 esta f´ormula da como soluci´on x = 3

2 +
√
−121 + 3

2 −
√
−121,
la cual Cardan di´o por v´alida. Como esta ecuaci´on tiene las ra´ıces 4, −2+
√
3 y −2−
√
3, interesaba la
relaci´on con laspropuestas por la f´ormula de Cardan. Fu´e el ingeniero hidra´ulico Rafael Bombelli
(Italia, 1526 - 1572), unos treinta a˜nos despu´es de la publicaci´on de la obra de Cardan, quien introdujo
un razonamiento que el mismo catalog´o de un tanto ”salvaje”. Plante´o que como −2 +
√
−121 y
−2−
√
−121 s´olo se diferencian en un signo, lo mismo deb´ıa suceder con sus ra´ıces c´ubicas. As´ı escrib´ıa3

−2 +
√
−121 = a +
√
−b y 3

−2 −
√
−121 = a −
√
−b,
donde por c´alculo directo obten´ıa que a = 2 y b = 1, luego
3

−2 +
√
−121 + 3

−2 −
√
−121 = (2 +
√
−1) + (2 +
√
−1) = 4.
As´ı Bombelli ”daba sentido” a las expresiones ”sin sentido” de Cardan.
Este razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli
desarroll´o un...