Numeros Complejos
Páginas: 6 (1498 palabras)
Publicado: 25 de octubre de 2012
Número complejo
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como c , siendo el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como lasuma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Ademáslos números complejos se utilizan por doquier matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el planocomplejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial eintegral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
-Números complejos opuestos
Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.
-Conjugado de un número complejo
Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 sonconjugados.
El conjugado de un complejo z (denotado como z' ó z* ) es un nuevo número complejo, definido así:
z*=a-ib==2-a+ib
Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.
Con este número se cumplen las propiedades:
-Representaciones
Representación binómica
Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama deArgand; es la expresión binomial del punto.
Un número complejo se representa en forma binomial como:
z=a+bi
Representación polar
En esta representación r, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.
-----------Historia-------------
----Primeras referencias: SI-SXII-----
La primera referencia escrita de la ra ́ız cuadrada de un nu ́meronegativo la encontramos en la obra Stereometrk ́ıa de Her ́on de Alejandr ́ıa (Greciaaprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I. Es este trabajo comparece la operacio ́n √81 − 144 aunque es tomada como √144 − 81, no sabi ́endose si este error es debido al propio Hero ́n o al personal encargado de transcribirlo.
La siguiente referencia sobre esta cuestio ́n se data en el an ̃o 275 en la obra deDiophantus (aprox. 200-284) Arithmetica. En su intento de ca ́lculo de los lados de un tria ́ngulo recta ́ngulo de per ́ımetro 12 y a ́rea 7, Diophantus planteo ́ resolver la ecuacio ́n 336x2 + 24 = 172x, ecuacio ́n de ra ́ıces complejas como puede ser comprobado fa ́cilmente.
Son los matema ́ticos hindu ́es los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas. Mahavira, alrededor delan ̃o 850, comenta en su tratado de los nu ́meros negativos que ”como en la naturaleza de las cosas una catidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener ra ́ız cuadrada”.
Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma:
El cuadrado de un nu ́mero, positivo o negativo, es positivo; la ra ́ız cuadrada de un nu ́mero positivo tiene dos valores, uno positivo y...
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como c , siendo el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como lasuma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Ademáslos números complejos se utilizan por doquier matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el planocomplejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial eintegral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
-Números complejos opuestos
Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.
-Conjugado de un número complejo
Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 sonconjugados.
El conjugado de un complejo z (denotado como z' ó z* ) es un nuevo número complejo, definido así:
z*=a-ib==2-a+ib
Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.
Con este número se cumplen las propiedades:
-Representaciones
Representación binómica
Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama deArgand; es la expresión binomial del punto.
Un número complejo se representa en forma binomial como:
z=a+bi
Representación polar
En esta representación r, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.
-----------Historia-------------
----Primeras referencias: SI-SXII-----
La primera referencia escrita de la ra ́ız cuadrada de un nu ́meronegativo la encontramos en la obra Stereometrk ́ıa de Her ́on de Alejandr ́ıa (Greciaaprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I. Es este trabajo comparece la operacio ́n √81 − 144 aunque es tomada como √144 − 81, no sabi ́endose si este error es debido al propio Hero ́n o al personal encargado de transcribirlo.
La siguiente referencia sobre esta cuestio ́n se data en el an ̃o 275 en la obra deDiophantus (aprox. 200-284) Arithmetica. En su intento de ca ́lculo de los lados de un tria ́ngulo recta ́ngulo de per ́ımetro 12 y a ́rea 7, Diophantus planteo ́ resolver la ecuacio ́n 336x2 + 24 = 172x, ecuacio ́n de ra ́ıces complejas como puede ser comprobado fa ́cilmente.
Son los matema ́ticos hindu ́es los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas. Mahavira, alrededor delan ̃o 850, comenta en su tratado de los nu ́meros negativos que ”como en la naturaleza de las cosas una catidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener ra ́ız cuadrada”.
Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma:
El cuadrado de un nu ́mero, positivo o negativo, es positivo; la ra ́ız cuadrada de un nu ́mero positivo tiene dos valores, uno positivo y...
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