Numeros complejos

1.1 DEFINICIÒN Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJO
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en laelectrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de gradon tiene exactamente n soluciones complejas.
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadascomo variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALESCON NUMEROS COMPLEJOS
Suma y resta de números complejos.
1.- (3+5i) - (5-3i) = -2+8i
2.- ( 9+7i ) - ( -9+7i )+( -18+i ) = ( 9+9-18 )+( 7-7+1 )i = i
Multiplicación de números complejos.
1.- (3+5i) (5+3i) (2-i) = 15+9i+6-3i+25i+15i +10i-5t = 34+64i
2.- ( 3-2i ) ( 2+i ) ( 1-i ) = ( 6+3i-4i-2i ) ( 1-i ) = ( 8-i ) = 8-8i-i+i = 7-9i
División de números complejos.
1.- 3 - i - ( 3 - i ) ( 3 -2i ) - 9 - 6i - 3i + 2i - 7 - 9i - 7 - 9i - 7 - 9i
3 +2i -( 3 + 2i ) ( 3 - 2i )- 9 + 4 - 9 + 4 - 13 - 13 13
2.- ( 3 + 4i ) ( 1 - 2i ) -3 - 6i + 4i - 8i - ( 11 - 2i ) ( 1 - i )- 11 - 11i - 2i + 2i -
1 + i - 1 + i - ( 1 + i ) ( 1 + i ) - 1 + i -
- 9 - 13i - 9 - 13i
- 2 - 2 2
Igualdad de los números complejos.
1.- 3ix + 2x= 2iy + y +1 3 ( 2 )=2y
3x =2y --- 3 ( x )= 2 ( 2x-1 ) 6= 2y
2x = y+13x= 4x-2 y = 6/2
-4x + 3x = -2 y = 3
y =2x-1 -x = -2
x = 2
2.- ( x + iy ) ( 1+2i )= -1+8i
( x+iy )= ( -1 +8i ) ( 1-2i )- -1 +2i+8i-16i - 15 + 10i - 3 + 2i
( 1 +2i ) ( 1- 2i ) - 1 + 4 - 5 -
x =3 y =2

1.3 POTENCIAS DE “i”, MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO
Valor absoluto. El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, lafunción distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Modulo de un vector
Se llama módulo de uncomplejo a la longitud del vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por r. Su valor se obtiene por la conocida relación: ½ Z1½ = r = Que es la relación que nos permite determinar la longitud de un vector. Sea Z un número complejo. Explique como determinar Sea Z= a +bi.

La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro complejo que llamaremos x + yi: = x + yi = x + yi (])...