Numeros complejos

Números Complejos
Definiciones:
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. El plano complejo es una forma de visualizar el espacio de los números complejos. Puede entenderse como un plano cartesiano modificado, en el que la parte realestá representada en el eje x y la parte imaginaria en el eje y. El eje x también recibe el nombre de eje real y el y eje imaginario
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de lasconstrucciones teóricas más importantes de la inteligencia humana.

Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.
Origen
Los números complejos surgen ante la necesidad de resolver ecuaciones como en las que aparecen soluciones cuyas expresiones del tipo carecen de sentido pues no es un número real. Para ello esnecesario admitir como números válidos a y a todos los que se obtengan de operar con él como si se tratara de un número real.

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano GIROLAMO CARDANO (1501–11576) quien encontró la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “numero complejo” fue introducido por el gran matemático alemán CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855) cuyotrabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclidiana, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.
Representación de los números complejos
Gráfica
Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se puedenrepresentar como puntos de una recta (la recta de los números reales).
Los Números Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano. En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano.
Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana.También se suele utilizar un vector para localizar el punto.
En un vector con principio en el origen de coordenadas y fin en el punto, identifica el punto de una manera inequívoca. Al extremo del vector se le llama Afijo del complejo.

Ese vector lo podemos descomponer en dos vectores: un vector con principio en el origen de coordenadas y fin el valor de la abscisa del punto (x,y), y otro vectorcon principio el origen de coordenadas y fin la ordenada del punto (x,y).
Entonces el punto se representaría como una suma de vectores a + b.
Si definimos unos vectores unitarios sobre el Eje X o Real, ya que en el representamos la Parte Real del número complejo y sobre el eje Y o Eje Imaginario, representamos la parte Imaginaria. Entonces podemos representar el número de esta forma xr + yi.Conjugado de un Número Complejo
Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.
Representando el número complejo a + bi y haciendo que su correspondencia simétrica, sea el conjugado a - bi .
Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal.
Dado un número complejo(x,y) el complejo conjugado sería (x,-y).

Propiedades de los Conjugados
· Primera propiedad
El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.
Demostración:
Si z = a + bi su conjugado seria = a - bi , y el conjugado de este seria = a + bi = z
· Segunda propiedad
Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.
Demostración:...