Numeros naturales

Definiciones
• La Real Academia Española los define como "Cada uno de los elementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..." [1]
• Es el conjunto de los números enteros no negativos.
• Un número natural es un símbolo que indica una cantidad.
El conjunto de los números naturales se representa por y corresponde al siguiente conjunto numérico:[2]

Los números naturales son un conjunto cerrado para lasoperaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a .
El cero y la definición de los números naturales
Existe una controversia acerca de la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales. De ahí que no exista acuerdo en la literatura y coexistan definiciones contradictorias de los númerosnaturales. De hecho, algunos matemáticos (especialmente los de la Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural; otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.
Históricamente el cero no se consideraba número natural. Entre otros motivos porque no tenía una representación natural: cero dedos, cero vacas, etc. podríanconsiderarse puros constructos mentales.
Más recientemente, desde el punto de vista de los fundamentos lógicos de las matemáticas y de algunas aplicaciones, la situación adquirió una perspectiva nueva que hizo más natural la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales. Por ejemplo, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, el cero se relaciona con el número de elementosdel conjunto vacío. Y en informática, con un estado de la memoria en que todos los bits se encuentran en estado off.
De ahí que la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales sea cuestión de contexto y de convenio, observándose una tendencia creciente a considerarlo parte de él.[cita requerida]
Historia
Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades,el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. dondeaparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleabansimplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.
Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que despuésprecisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia delconjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.
Construcciones axiomáticas
Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de...