numeros primos y compuestos

Cap´
ıtulo 1
N´ meros primos y compuestos
u
En este cap´
ıtulo consideraremos algunas propiedades del conjunto de los n´meros
u
enteros y positivos: 1, 2, 3, . . . Es costumbre utilizar la letra N para designar a dicho conjunto, as´ como Z es la notaci´n usual en Matem´ticas para representar al
ı
o
a
conjunto de todos los n´meros enteros (positivos, negativos y cero). La aritm´tica
ue
elemental se ocupa del estudio de las operaciones b´sicas de los enteros, suma, resa
ta y multiplicaci´n y, junto con la Geometr´ Eucl´
o
ıa
ıdea, constituye los cimientos y
aporta los primeros modelos sobre los que luego se construyen y conforman otras
ramas de la Matem´tica. En los sucesivo supondremos ciertos conocimientos de la
a
Aritm´tica elemental para pasar directamente aestudiar la relaci´n de divisibilidad.
e
o

1.1.

El teorema fundamental de la aritm´tica
e

Un entero positivo p > 1 es un n´mero primo si sus unicos divisores positivos
u
´
son 1 y p. Por ejemplo los n´meros 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos. Los enteros positivos
u
mayores que 1 que no son primos se llaman compuestos.
El concepto de n´mero primo se remonta a la antig¨edad. Los griegospose´
u
u
ıan
dicho concepto, as´ como una larga lista de teoremas y propiedades relacionadas con
ı
´l. Los cuatro ejemplos siguientes aparecen el Los Elementos de Euclides:
e
Todo entero positivo, distinto de 1, es un producto de primos.
Teorema fundamental de la aritm´tica: Todo entero positivo puede descome
ponerse de manera unica en un producto de primos.
´
Existen infinitos n´merosprimos.
u
1

2

´
CAP´
ITULO 1. NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Podemos obtener una lista de los n´meros primos por medio del m´todo conou
e
cido con el nombre de Criba de Erat´stenes.
o

Estas propiedades justifican la importancia de los n´meros primos y la curiosiu
dad que han inspirado entre los matem´ticos de todas las ´pocas.
a
e
Proposici´n 1.1.1. Todo entero positivo mayor que 1es un producto de n´meros
o
u
primos.
Demostraci´n. Por inducci´n. La hip´tesis es cierta en el caso n = 2. Supong´mosla
o
o
o
a
cierta para n ≤ m y probemos que m + 1 es un producto de primos.
Si tenemos tanta suerte que m + 1 es primo, entonces no hay nada que demostrar; en caso contrario m + 1 se podr´ escribir de la forma m + 1 = n1 n2 con
a
1 < n1 ≤ n2 < m + 1. Por ser n1 y n2menores que m + 1 y mayores que 1, ambos
ser´n productos de primos y tambi´n lo habr´ de ser m + 1.
a
e
a
Sean a y b dos n´meros enteros alguno de los cuales es distinto de 0. El m´ximo
u
a
com´n divisor de a y b es el mayor entero positivo (a, b) que divide a ambos a y b. El
u
caso en que (a, b) = 1 recibe un nombre especial, se dice que a y b son primos relativos
o primos entre s´ El m´ı.
ınimo com´n m´ltiplo [a, b] es el menor entero no negativo
u
u
que es divisible por a y por b. Si a y b son primos relativos entonces [a, b] = |ab|. En
general se verifica que |ab| = (a, b)[a, b].
Proposici´n 1.1.2 (Algoritmo de la divisi´n). Dados dos enteros cualesquiera a y
o
o
b (a > 0), existen dos unicos enteros q y r tales que b = aq + r, 0 ≤ r < a. Si a b
´
entonces 0 < r e
u
Demostraci´n. Consid´rese el conjunto {b − qa, q ∈ Z}. Sea r el menor n´mero no
o
negativo de la sucesi´n. Obviamente r = b − qa para alg´n q. Es claro que r < a.
o
u
En caso contrario 0 ≤ b − (q + 1)a = r − a < r y entonces r no ya ser´ el m´
ıa
ınimo
entero positivo con esa propiedad. La unicidad de r implica la de q.
Algoritmo de Euclides. Supongamos que a > b y a = bc + r, a≤ r < b.
Es claro que todo divisor com´n de a y b lo es tambi´n de b y r, y viceversa. En
u
e
particular (a, b) = (b, r). Esta estrategia puede ser iterada. El ultimo resto distinto
´
de 0 es el m´ximo com´n divisor de los n´meros a y b.
a
u
u
Proposici´n 1.1.3. Fijados b y c, existen enteros x0 y y0 tales que (b, c) = bx0 +cy0 .
o
Demostraci´n. Consideremos el menor entero positivo...

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