numeros racionales

www.matesxronda.net

José A. Jiménez Nieto

NÚMEROS RACIONALES
1. INTRODUCCIÓN: NÚMEROS ENTEROS Y OPERACIONES
Al principio, las cantidades sólo se expresaban con palabras, se contaban cosas concretas. El símbolo para los números aparece mucho más tarde con el nacimiento de la escritura. Los números más sencillos resultan de contar los individuos que figuran en un grupo de personas, o losobjetos que hay en una colección; a veces también, de expresar la
cantidad o la dimensión de algo que hemos pesado o medido. Estos números son los números naturales que se representan por la letra N y son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, …}
Con ellos sumamos y multiplicamos sin dificultad. Siempre el resultado de estas operaciones es un número natural:
3 + 106 = 109 ; 8 ⋅ 32 = 256
Cuando sólo se conocíanestos números, no había manera de distinguir las ganancias de las pérdidas, una temperatura sobre 0 o bajo 0, etc. Además, una operación como esta resta, asustaba: 5 − 46 = ?
Para subsanar estos problemas se inventaron los números con signo, llamados números enteros. Éstos se representan con la letra Z y son:
Z = {…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Ya podemos sumar, multiplicar y restarsiempre con la seguridad de que el resultado será también un número entero:
−4 + 12 = 8 ; 5 − 46 = −41 ;

5 ⋅ (−7) = −35

El ser humano no sólo inventa los números sino que los relaciona mediante las operaciones. Vamos a repasar las
operaciones con números enteros utilizando unos ejemplos.
•

Suma de dos enteros positivos:

(+5) + (+6) = 5 + 6 = 11

•

Suma de dos enteros negativos:(−3) + (−7) = −10

•

Suma de dos enteros de distinto signo: (+9) + (−5) = 4 ; (−9) + (+5) = −4

Restar dos números enteros es lo mismo que sumar al primero el opuesto del segundo. El opuesto de 5 es −5, −8 es
el opuesto de 8.
Ejemplo.-

(−6) − (+5) = (−6) + (−5) = −11
(−3) − (−2) = (−3) + (+2) = −1
−3 + 4 − (−7) = −3 + 4 + 7 = − 3 + 11 = +8

Para multiplicar (o dividir) números enteroshas de tener en cuenta la regla de los signos.
+⋅+=+
Ejemplo.-

+⋅−=−

−⋅+=−

−⋅−=+

(−2) ⋅ 3 = −6
4 : (−2) = −2
(−1) ⋅ (−3) = +3
3 ⋅ (−2) ⋅ (−5) = +30

Matemáticas 3o ESO

Números racionales

•

1

www.matesxronda.net

José A. Jiménez Nieto

Jerarquía de las operaciones
Cuando tenemos varias operaciones encadenadas es necesario primero suprimir los paréntesis, luegorealizar los productos y cocientes, y después las sumas y restas. Si hay unos paréntesis dentro de otros se debe ir de dentro hacia fuera.
Ejemplo.-

1 − 5 ⋅ 4 = 1 − 20 = −19
3+4:2=3+2=5
1 + 4 ⋅ (3 + 2) = 1 + 4 ⋅ 5 = 1 + 20 = 21
5 ⋅ 4 − (1 + 2) = 20 − 3 = 17
18 − [(3 + 6 + 9) : (9 − 6)] = 18 − [18 : 3] = 18 − 6 = 12
[(55 − 10) − (3 ⋅ 6 ⋅ 9)] : (−3) = [45 − 162] : (−3) = (−117) : (−3) = 39EJERCICIOS
1. Utiliza los números enteros para expresar los siguientes apartados.
a) El cráter de un volcán que se encuentra a 600 m bajo el mar.
b) El sótano segundo de un garaje.
c) Un ingreso en la cuenta corriente de un banco de 4.000 euros.
2. Realiza las siguientes operaciones.
a) −65 + 13
h) 7 + (4 − 5) − (−89)
b) 6 − (−23)
i) 4 − 3 + 7 − 2
c) −2 + (−3)
j) (−3) ⋅ (−2) + 7
d)(−12) ⋅ (−3) ⋅ 5
k) 3 + 4 ⋅ 5
e) 45 : (−5)
l) −8 : 4 − 1
f) 3 − 2 + 9 − 7
m) (−1) ⋅ 7 + (2 − 5)
g) 3 − 2 ⋅ 5 + 7 ⋅ 4
n) 4 : 2 − (3 + 1)

ñ) 13 − (4 + 8) − 3 ⋅ 54
o) [21 : (7 ⋅ 3)] + 4 ⋅ (5 − 1)
p) 7 − 7 − [(2 ⋅ 3) : (3 ⋅ 2)]
q) −3 − 2 ⋅ [−9 ⋅ (5 − 4) − (−6)]
r) −3 + 3 ⋅ (5 − (−4))
s) 11 ⋅ 5 − 6 ⋅ 11

2. FRACCIONES. NÚMEROS RACIONALES
Muchas veces es imposible expresar el resultado deuna medida mediante un número entero, por lo que recurrimos a
la división de la unidad de medida en partes iguales.
Por ejemplo, cuando partimos una tarta en 6 trozos iguales, cada unidad fraccionaria es

La unidad fraccionaria,

1
.
6

1
, es cada una de las partes que se obtienen al dividir la unidad en n partes
n

iguales.

Matemáticas 3o ESO

Números racionales

•...