Numeros Reales y Complejos

ección 1.1 Una Visión Preliminar
La noción de número es una de las más fundamentales en matemáticas. Su origen se remonta a la antigüedad y a través de los siglos ha pasado por un largo proceso de extensión y de generalización.
Los números más simples, los que utilizamos para contar, son los enteros positivos:

Representamos el conjunto de los enteros positivos por .
Si alconjunto de los enteros positivos le añadimos el número , obtenemos el conjunto de los números naturales que representamos por . Es decir,

Si a le agregamos los inversos aditivos de los enteros positivos, obtenemos el conjunto de los números enteros que representamos por . Luego,

El conjunto de números más simple después de los enteros es el conjunto de los números racionales. Los númerosracionales surgieron ante la necesidad de medir con bastante precisión distintas magnitudes tales como longitud, peso, tiempo y muchas otras. Un número es racional si puede expresarse en la forma donde y son enteros con . Como ejemplo de números racionales podemos citar:

Observamos que los números racionales y son simplemente los enteros y . En general, todo número entero es unnúmero racional.
El conjunto de los números racionales lo representamos con el símbolo .
Los griegos fueron conscientes de que los números racionales no son suficientes para medir todas las longitudes. Aunque ellos demostraron que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado , también probaron que no puede escribirse como el cociente de dos enteros.
Los números que no son racionales,se llaman números irracionales. En un contexto más avanzado, se puede demostrar que existen mucho más números irracionales que números racionales. Por el momento, podemos mencionar que si es un número racional y entonces es un número irracional. La reunión de todos los números racionales y todos los números irracionales constituye el conjunto de los números reales que representamos por .Entre los conjuntos numéricos hasta ahora mencionados existen las siguientes relaciones:

donde representa la inclusión entre conjuntos. En todos los casos la inclusión es estricta.
También es conveniente mencionar que el conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales con respecto a . Por lo tanto si representamos por el conjunto de todos losnúmeros irracionales, tenemos la relación

Lección 1.2. Adición y Multiplicación de Números Reales
Sobre el conjunto de los números reales tenemos definidas dos operaciones, la adición y la multiplicación que asignan a cada par de números reales su suma y su producto (que escribiremos abreviadamente como ) de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades básicas:
P.1
escerrado para la adición y la multiplicación. Es decir, si y son números reales, entonces y son también números reales.
P.2
La adición y la multiplicación en son conmutativas. Es decir, si y son números reales, entonces

P.3
La adición y la multiplicación en son asociativas. Es decir, si y son números reales, entonces

P.4
La multiplicación es distributiva, a izquierda y aderecha, con respecto a la adición en Es decir, si y son números reales, entonces

P.5
Existen identidades para la adición y la multiplicación en . Es decir, existen dos números reales diferentes que representamos por y , tales que para todo número real se tiene

P.6
Existen inversos para la adición de números reales y para la multiplicación de números reales diferentes de cero. Esdecir,
Para todo número real , existe un número real que representamos por , tal que

Para todo número real , existe un número real que representamos por , tal que

El número se llama el inverso aditivo de o el opuesto de . El número se llama el inverso multiplicativo de o el recíproco de .
Dados los números reales y , la propiedad asociativa de la adición nos dice que...