Numeros

GUÍA DE ESTUDIO
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales
1) LOS NÚMEROS El sistema de números reales consiste en un conjunto R de elementos llamados números reales y dos operaciones denominadas: adición y multiplicación, que se denotan con los símbolos + y ⋅ , respectivamente. Si a y b son elementos del conjunto R, entonces a+b denota la suma de a y b; también a⋅b (ó ab) indica suproducto. La operación de sustracción se define mediante: a + (− b ) = a − b , donde –b representa el negativo de b tal que, b + (− b ) = 0 . La operación de división se define con la ecuación: a ÷ b = a ⋅ b −1 ; b ≠ 0 , donde b-1 representa el

1 = 0.333.... 3

−

61 = −0.549549549.... 111

Los números irracionales son decimales inconmensurables y no periódicos, tales como: 3 = 1.732....
π =3.14159....

Los números complejos C se expresan generalmente en la forma a +bi, donde a y b son números reales, i es la llamada unidad imaginaria, que se caracteriza por tener la propiedad de que i2=-1.
2) ESPACIO VECTORIAL

recíproco de b, tal que b ⋅ b −1 = 1 . Un número real puede ser negativo, positivo o cero. Cualquier número real se puede clasificar como racional o irracional. Unnúmero racional Q es cualquier número que se puede expresar como la razón de dos enteros. Es decir, un número racional es un número de la forma p/q donde p y q son enteros y q ≠ 0. Los números racionales comprenden a los siguientes: • Los enteros Z: son números racionales con denominador igual a 1 (p/q = p/1 = p), pueden ser positivos, negativos y cero: . . .,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . .. Los naturales N: son números enteros (todos positivos): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . Fracciones positivas y negativas, tales como: 2 4 83 . . ., ,− , , . . . 7 5 5 Los decimales conmensurables positivos y negativos, tales como: 3251 236 = 2.36 , − = −0.003251 100 1000000 Los decimales inconmensurables periódicos positivos y negativos, tales como:

Espacio vectorial es un conjunto constituidopor un número infinito de vectores, para los cuales se han definido las operaciones de adición y multiplicación por un escalar, y además están definidos sobre un determinado campo k. Esquemáticamente puede representarse como:

• •

•

El campo k puede referirse a alguno de los siguientes números: • Complejos • Reales • Racionales • Irracionales • Enteros • Naturales Los vectores v1 , v 2,..., v n pueden tener distintas formas, por ejemplo:

•

R2: v = ( x, y ) → vector en dos dimensiones.
COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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Profra. Norma Patricia López Acosta

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ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales
R3: v = ( x, y, z ) → vector en tres dimensiones. ⎡a b ⎤ M2 : v = ⎢ ⎥ → matriz cuadrada de2×2. ⎣c d ⎦ P: v = ax 2 + bx + c → polinomio de grado menor o igual a dos. F: v = f ( x ) → función de cualquier forma. OBSERVACIONES: • Las operaciones de adición y multiplicación por un escalar para estos conjuntos generalmente no son las usuales. • Al resolver un problema, en cada axioma se debe escribir si se cumple o no se cumple; y al final del problema, si el conjunto es o no un espaciovectorial. Para que un determinado conjunto sea un espacio vectorial, debe satisfacer los siguientes 10 axiomas: Sean V un determinado conjunto; y u, v, w vectores que ∈ V. 1. Cerradura para la suma: u + v ∈V 2. Propiedad conmutativa de la suma: u +v = v+u 3. Propiedad asociativa de la suma: u+ v+w = u+v +w 4. Existencia de vector neutro e : e + u = u → por la izquierda u + e = u → por la derecha5. Existencia de inversos aditivos z : z + u = e → por la izquierda u + z = e → por la derecha 6. Cerradura para la multiplicación: αu ∈ V 7. Propiedad distributiva de la multiplicación para la suma de vectores: α u + v = αu + α v Para que un subconjunto A sea un subespacio vectorial de V, deben cumplirse las siguientes dos condiciones: 1. Cerradura para la suma: u + v ∈ A 2. Cerradura para la...