Numeros

UNIDAD III. TEORÍA DE NÚMEROS

NUMEROS PRIMOS
Un número entero P es primo si es un número mayor que 1 y los únicos enteros que lo dividen son 1, -1, P y –P. A los números de la forma –P donde es un primo les llamaremos primos negativos
Por ejemplo: 5, es divisible por (1, -1, 5, -5), primo positivo.
-5, es divisible por (1, -1, 5, -5), primo negativo.

La sucesiónde los números primos, (positivos), comienza con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...
Hay infinitos números primos, es decir, existen números primos tan grandes como se quiera. La distribución de los números primos es muy irregular. Hay algunos que son números impares consecutivos, como 3 y 5; estos se llaman primos gemelos.
El MCD de dos enteros a y b es el mayor entero positivo que divide a a y bcon resto cero. Si el MCD de dos enteros es 1, se dice que los dos números son primos relativos o primos entre sí.A los números que son el producto de dos o más primos les llamaremos compuestos.

Teorema Fundamental De La Aritmética

Todo entero n > 1 puede descomponerse de manera única como un producto de potencias de números primos de la siguiente manera:

[pic]

donde las [pic] sonprimos tal que: [pic] y [pic] son enteros positivos.

Por ejemplo:
252 = 22 x 32 x 7
825 = 3 x 52 x 11
46137 =3 x 7 x 133

3.1 DIVISIBILIDAD

Un número es divisible entre otro cuando lo contiene exactamente un número entero de veces. En otras palabras si un número divide a otro número, el cociente debe ser exacto.
 
Definición. Sean a y b dos números enteros. Decimos que a divide a b (loque simbolizamos con a | b) si existe un entero c tal que b = (a)(c)
Esto equivale a decir, que b es múltiplo de a. O que la división b ÷ a no deja residuo.
Si a no divide a b, escribimos a [pic] b. Esto es lo mismo que decir que la división b ÷ a deja residuo.
Ejemplos:
3|12 pues 12 = 4[pic]3
4[pic]10 ya que no existe un entero c tal que 10 = 4c.
4 | 20 ya que si c = 5, 20 = 4c.
3|0dado que 0 = 3c cuando c = 0.
1| 5 puesto que 5 = 1[pic]5
5[pic]1 dado que 1 ≠ 5c para cualquier entero c.
Para cualquier entero a, a+ l | a2 - l. Ya que a2 - 1 = (a+ l)[pic]k , con k = a - l.

Criterios de divisibilidad

A continuación damos algunos criterios de divisibilidad que facilitan la búsqueda de los factores primos.

Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 cuandotermina en cero o cifra par.

Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Por ejemplo: 168351 es divisible por 3 pues 1 + 6 + 8+ 3 + 5 + 1 = 24, el cuál es múltiplo de 3.

Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o en cinco.

Divisibilidad por 7
Un número es divisible por 7 cuando separando la primeracifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7.
Veamos un ejemplo: ¿2401 es divisible por 7?
240_1 x 2 = 2, 240 - 2 = 238, 23_8 x 2 = 16, 23 - 16 = 7.
Entonces, 2041 sí es divisible por 7. Verifiquemos:
2401 / 7 = 343.

Divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 cuando ladiferencia entre la suma de los dígitos que ocupan un lugar impar, y la suma de los dígitos de lugar par, (puede ser de derecha izquierda ó inversamente es decir, que la diferencia pudiera dar negativa), es cero o múltiplo de 11.

Por ejemplo. Veamos si 94378 es divisible por 11:
9437, de derecha a izquierda:
Pares (subrayados): 4 y 7, 4 + 7 = 11
Impares: 9, 3 y 8, 9 + 3 = 12Impares - Pares = 12 - 11 = 1, luego 9437 no es divisible por 11. (Verifíquelo)

Divisibilidad por 13, 17 y 19
El procedimiento para investigar la divisibilidad por 13, 17 y 19 es similar al de la divisibilidad por 7, sólo que al separar la primera cifra de la derecha, ésta se multiplica por 9, 5 y 17 respectivamente; siendo un número divisible por 13, 17 y 19 si al final del proceso sobra un...