Numeros

Extremos de una función de varias variables.
3.3.1. Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales.
Definición. Una función tiene un máximo (mínimo) en un punto si el valor de lafunción en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P.
Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable alcanza un extremo en elpunto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:
;
Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos oestacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.
Condiciones suficientes para la existencia de extremos.
(a) Caso de dos variables. Sea un punto crítico de una función con las derivadas parciales desegundo orden continuas en P, y sea el determinante de su matriz hessiana, entonces:

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa máximo y si es positivamínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método)
(b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:; ;;...;
i. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en
ii. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo ),entonces la función tiene un máximo en
iii. En cualquier otro caso hay duda.
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30. Halla los extremos de la función

Solución:(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
;
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=3. Luego P(0,3) es elúnico punto crítico de la función.
Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,3).

Con lo cual tenemos H(0,3)=+3 luego hay extremo y como se trata de un mínimo.
El valor de la función en el mínimo...