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Carlos Ivorra Castillo

´ TEOR´ DE NUMEROS IA

La aritm´tica superior nos proporciona un cone junto inagotable de verdades interesantes — de verdades que adem´s no est´n aisladas, sino en estrecha a a relaci´n unas con otras, y entre las cuales, con cada o sucesivo avance de la ciencia, descubrimos nuevos y, a veces, completamente inesperados puntos de contacto. C.F.Gauss

´ IndiceGeneral
Prefacio Cap´ ıtulo I: Introducci´n a la teor´ algebraica o ıa 1.1 Ternas pitag´ricas . . . . . . . . . . . . . . o ´ 1.2 El Ultimo Teorema de Fermat . . . . . . . . 1.3 Factorizaci´n unica . . . . . . . . . . . . . . o ´ 1.4 La ley de reciprocidad cuadr´tica . . . . . . a 1.5 El teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . 1.6 Ecuaciones diof´nticas . . . . . . . . . . . . a 1.7 Ecuacionesdefinidas por formas . . . . . . . 1.8 Conclusi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Cap´ ıtulo II: Cuerpos num´ricos e 2.1 Enteros algebraicos . . . . . . . 2.2 Discriminantes . . . . . . . . . 2.3 M´dulos y ordenes . . . . . . . o ´ 2.4 Determinaci´n de bases enteras o 2.5 Normas e ´ Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n´ meros u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix 1 1 3 5 8 11 11 14 18 19 19 22 25 33 45 49 50 58 64 71 72 75

Cap´ ıtulo III: Factorizaci´n ideal o 3.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . 3.2 Divisibilidad ideal en ordenes num´ricos . . ´ e 3.3 Ejemplos defactorizaciones ideales . . . . . 3.4 La funci´n de Euler generalizada . . . . . . o 3.5 Factorizaci´n ideal en ordenes no maximales o ´ 3.6 El problema de la factorizaci´n unica real . o ´

Cap´ ıtulo IV: M´todos geom´tricos e e 4.1 La representaci´n geom´trica . . . . . . . . . . o e 4.2 Ret´ ıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 El teorema de Minkowski . . . . . . . . . . . . 4.4El grupo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 La representaci´n logar´ o ıtmica . . . . . . . . . . 4.6 C´lculo de sistemas fundamentales de unidades a 4.7 C´lculo del n´mero de clases . . . . . . . . . . a u v

77 . 77 . 79 . 83 . 87 . 96 . 100 . 106

vi Cap´ ıtulo V: Fracciones continuas 5.1 Propiedades b´sicas . . . . . . . . . . a 5.2 Desarrollos de irracionales cuadr´ticos a 5.3Transformaciones modulares . . . . . . 5.4 Unidades de cuerpos cuadr´ticos . . . a 5.5 La fracci´n continua de e . . . . . . . o Cap´ ıtulo VI: Cuerpos cuadr´ticos a 6.1 Formas cuadr´ticas binarias . . . . a 6.2 Equivalencia y similitud estricta . 6.3 Grupos de clases . . . . . . . . . . 6.4 Ecuaciones diof´nticas cuadr´ticas a a 6.5 C´lculo de grupos de clases . . . . a Cap´ ıtulo VII: N´ merosp-´dicos u a 7.1 Valores absolutos . . . . . . . . . . 7.2 Cuerpos m´tricos discretos . . . . . e ıces . . 7.3 Criterios de existencia de ra´ 7.4 Series en cuerpos no arquimedianos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ INDICE GENERAL 111 111 116 118 120 122 131 132 136 139 145 151 157 158 164 170 173 181 181 185 190 196 201 202 209 210 216 224 229 234 242

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