NumerosNaturales 1

Explorar
1. Los números naturales
A /Introducción.
Desde hace mucho tiempo, tantos que quizás no puedas recordar desde cuando, sabes como “funcionan” los números naturales:

a)
b)

0; 1; 2, 3; …,

c)

es decir, sabes operar con ellos, conoces y aplicas las propiedades de
la adición y la multiplicación y hasta incluso manejas bien las desigualdades.

d)

Lo que nos proponemos ahora es investigarqué cosa son los números
naturales, o mejor dicho, qué es el sistema de los números naturales.

g)

e)
f)

Cifras numéricas en antiguas civilizaciones:
a) Egipcios; b) Babilónicos; c) Romanos (primitivos);
d) Chinos; e) Indostanos; f) Mayas y g) Arábigos.

B /El sistema de los números naturales.
Te proponemos un primer acercamiento, diciendo que el sistema de los números naturales está compuestopor:
1. Un conjunto infinito de números, llamados números naturales a los que representamos
por los símbolos 0; 1; 2, 3, 4; …
2. Dos operaciones, la adición y la multiplicación, que asocian a cada par de naturales otro
natural, respectivamente la suma y el producto.
Simbólicamente:
(a; b) → a + b = s ; siendo a, b y s tres números naturales.
y, del mismo modo,
(a; b) → a × b = p ; siendo a, b y ptres números naturales.
3. Una relación de orden definida entre los números naturales, que nos permite decidir dados dos naturales distintos,
por ejemplo, cual es el mayor.
Así, a < b significa que existe un natural c distinto de 0 tal que a + c = b.
Cuando esto ocurre escribimos c = b – a y decimos que c es la diferencia entre b – a.
4. Algunas reglas que describen las propiedades de:
a) lasoperaciones;
b) la interrelación entre las operaciones;
c) la relación de orden;
d) la interrelación entre las operaciones y el orden.

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Matemática Gauss 5

Explorar
C /Reglas del sistema
1. Reglas de las operaciones:
Adición

Multiplicación

A1 Asociativa

Para todo a, b y c de N:
(a + b) + c = a + (b + c)

M1

Asociativa

Para todo a, b y c de N:
(a×b)×c = a×(b×c)

A2 Conmutativa

Para todo a yb de N:
a + b = b+ a

M2

Conmutativa

Para todo a y b de N:
a × b = b× a

Existe un único elemento 0
tal que a + 0 = a
para todo natural a.

M3

Existencia
de neutro

Existe un único elemento 1,
diferente de 0, tal que a×1 = a
para todo natural a.

Cancelativa

Si a, b y c son números naturales, c ≠ 0 y
a × c = b × c, entonces
a = b.

A3

Existencia
de neutro

Si a, b y c son números naturalesy
a + c = b + c, entonces
a = b.

A4 Cancelativa

M4

2. Interrelación entre las operaciones.
D

Distributividad de la multiplicación
respecto de la adición

Para todo a, b y c de N se tiene:
a×(b + c) = a×b + a×c

3. Reglas del orden.
Orden
O1 Propiedad transitiva

Sean a, b y c elementos de N.
si a < b y b < c, entonces a < c.

O2 Propiedad de tricotomía

Si a y b son elementos de N entoncessólo una de las
siguientes proposiciones es válida:
a > b; a = b; a < b.

4. Interrelación entre las operaciones y el orden.
Para todo a, b y c de N,
si a > b, entonces a + c > b + c

O+ Monotonía de la adición

Para todo a y b de N y c de N* :

O× Monotonía de la multiplicación

si a > b, entonces a × c > b × c

(N* = N – {0})
De la teoría a la práctica
a. Veamos a continuación como se usan esaspropiedades al efectuar la multiplicación cualquiera, por ejemplo:
136
×

19

136
×

+

1360
2584

19 10 + 9
1 2 2 4 136 × 9

1224
+

1 3 6 0 136 × 10
2 5 8 4 (136 × 9) + (136 × 10) = 136 (9 + 10) = 136 × 19

Observa también que de este modo, para efectuar cualquier multiplicación utilizando este método sólo es necesario
aprender las tablas de multiplicar de los primeros 10 números naturales.

2Explorar
b. Para probar que 0 < 1, desigualdad que no sorprende, utilizas el hecho de que 0 + 1 = 1.
c. Al resolver la inecuación x + 6 < 9 aplicas x + 6 < 3 + 6 y obtienes x < 3.

D /El principio de recurrencia (o de inducción completa).
Supongamos que un conjunto de números naturales contiene al 0, y que por el hecho de contener a un natural n se
puede deducir que contiene a n+1 (o sea a su...