números naturales

GUÍA TEÓRICA Nº1
NÚMEROS NATURALES AXIOMAS Y PROPIEDADES

El número natural es uno de los primeros conceptos matemáticos que nacen como creación de espíritu humano. La naturaleza proporciona objetos del mismo “tipo”.

La primera inquietud matemática que se presenta ante el hombre es:
a) la de clasificarlos : los peces de una red, los animales de un monte por ejemplo

b) y luego la deenumerarlos: primero, segundo, tercero, …

Así, mediante esta doble abstracción:
c) Del orden
d) y de la naturaleza de los elementos de una colección, nace el concepto de número abstracto.

Sin duda, esta abstracción no es suficiente para tener una idea clara y precisa acerca del significado de los números naturales.

Los Números Naturales son:

Es importante comprender queno basta con dar el conjunto de los números naturales, ya que solo hemos enunciado algunos de estos números.

Observe que, es necesario considerarlos ordenados en una sucesión.

Construcción axiomática de los Números Naturales.

AXIOMAS DE PEANO

Axioma: Es una proposición que es considera evidente y se acepta sin requerir demostración previa.

Axioma 1: El 1 es un número natural(primer elemento).


Axioma 2: Para cada número natural existe un único natural o llamado sucesor de n.

Luego

Nota: n se llama antecesor de

Axioma 3: 1 no es sucesor de ningún natural.
Para todo tenemos que .

Axioma 4: Dos números naturales distintos no tienen nunca el mismo sucesor.

Para todo entonces

Axioma 5: (Axioma de Inducción)

Si S es unsubconjunto de , al que pertenece el 1 y el sucesor de cada uno
de sus elementos, entonces S corresponde al conjunto

Es decir, si que satisface:
i.
ii.

Entonces

Nota: Este axioma es conocido como:



Definición:
El conjunto M se llama conjunto compuesto de n elementos, si existe una relación de ida y vuelta del conjunto M sobre el conjunto

Si para unconjunto M existe un número natural n, de modo que el número de elementos es igual a n, entonces este conjunto se llamará finito.

Nota:
Todo conjunto que no sea finito, se llamará infinito.

Definición:
Sea X cualquier conjunto.
Cualquier función se llama sucesión de elementos del conjunto .
El elemento se designa por y se llama el enésimo miembro de la sucesión y la anotamos como , obien

Nota:
Cada elemento de la sucesión forma un par ordenado con y .

En las matemáticas juega un rol muy importante el axioma número quinto que asegura la completitud de los números naturales, el cual expresa el llamado principio de inducción, uno de los métodos más poderosos para demostrar cierto tipo de proposiciones en matemáticas.

Proposición:
Es un enunciadosusceptible de ser verdadero o falso.

Ejemplo 1:
El conjunto de proposiciones



Observe que hay tantas proposiciones como números naturales.

La sucesión proposicional que define al conjunto es:


El número natural 3, identifica la proposición:


El número 10 identifica la proposición:


Ejemplo 2:
La proposición la suma de los “n” primeros números naturales es

Es la sucesión deproposiciones identificada por la función proposicional:


Observemos que en todos los casos hay una sucesión de proposiciones, la cual está definida por una función proposicional H que depende de , es decir, una sucesión de la forma:


Nota:
No deben confundirse las expresiones “” y .

“” representa la función proposicional y el punto de la función proposicional
en el númeronatural “”.

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN

Sabemos que a cada proposición le corresponde un valor de verdad.

Cada proposición es verdadera o es falsa.

El “ o “ es excluyente.

Así, dada la función proposicional P y la sucesión de proposiciones:



Podemos definir el conjunto .



Es decir es el conjunto de aquellos números naturales “n” para los cuales la proposición es verdadera....