números naturales

Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de la matemática, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:
Definición sin el cero:
http://upload.wikimedia.org/math/c/7/9/c7982c0ba985d8b435d72cfc218338f6.png
Definición con elcero:
http://upload.wikimedia.org/math/6/4/a/64a7401296287e3f29b7ae0d7b5d4022.png
donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".
Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana de la península ibérica,1 pero no se consideraba un número natural.2
Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en elsiglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,3 y otras, como la teoría de la computación.4 En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.4 Sin embargo, en la actualidad ambos convenios conviven.5
Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si se incluyeel cero en los naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota como . Alternativamente también se utiliza .6
Por el contrario, cuando el 0 no se considera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, en divisibilidad y teoría de números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de losnúmeros cardinales y se lo denota
Historia [editar]

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplementetrazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde,aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.
Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de unaserie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Fregeperdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.
Las propiedadesde los números naturales son:
Que un número natural va después del otro
Que dentro de dos números naturales consecutivos no puede haber otro
Que son infinitos
Construcciones axiomáticas [editar]

Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos....