Olimpiada Mundiañ

Version: Spanish.

PRIMER DIA
Tokio, 13 de julio de 2003.

Problema 1. Sea A un subconjunto del conjunto S = {1, 2, . . . , 1000000} con 101
elementos exactamente. Demostrar queexisten n´meros t1 , t2 , . . . , t100
u
en S tales que los conjuntos
Aj = {x + tj | x ∈ A} para j = 1, 2, . . . , 100
son disjuntos dos a dos.

Problema 2. Determinar todas las parejasde enteros positivos (a, b) tales que
a2
2ab2 − b3 + 1
es un entero positivo.

Problema 3. Consideremos un hex´gono convexo tal que para cualesquiera dos lados
a
opuestos severifica √ siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos
la
medios es igual a 3/2 multiplicado por la suma de sus longitudes.
Demostrar que todos los ´ngulos del hex´gono son iguales.
a
a(Un hex´gono convexo ABCDEF tiene tres parejas de lados opuestos:
a
AB y DE, BC y EF , CD y F A.)

Tiempo: 4 horas y media.
Cada problema vale 7 puntos.

Version: Spanish.SEGUNDO DIA
Tokio, 14 de julio de 2003.

Problema 4. Sea ABCD un cuadril´tero convexo cuyos v´rtices est´n sobre una
a
e
a
circunferencia. Sean P, Q y R los pies de las perpendicularestrazadas
desde D a las rectas BC, CA y AB respectivamente. Demostrar que
P Q = QR si y s´lo si las bisectrices de los ´ngulos ABC y ADC se
o
a
cortan sobre la recta AC.

Problema5. Sea n un entero positivo, y x1 , x2 , . . . , xn n´meros reales tales que
u
x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn .
(a) Demostrar que


n

2

n

|xi − xj | ≤


i=1 j=1

2(n2 − 1) n n(xi − xj )2 .
3
i=1 j=1

(b) Demostrar que se cumple la igualdad si y s´lo si x1 , x2 , . . . , xn
o
forman una progresi´n aritm´tica.
o
e

Problema 6. Sea p un n´mero primo.Demostrar que existe un n´mero primo q tal
u
u
que, para todo entero n, el n´mero np − p no es divisible por q.
u

Tiempo: 4 horas y media.
Cada problema vale 7 puntos.