Ondas

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La cuerda vibrante • la cuerda es extensible • inicialmente se encuentra sobre el eje de abscisas x • la posici´n de un punto de la cuerda viene descrita por su posici´n vertical o o y(x, t) • la posici´n depende de x y y (funci´n de dos variables) o o

´ Tension de la cuerda: T = T (x, t) Consideremos un elemento de cuerda de longitud ∆x suficientemente peque˜o n en un cierto ciertoinstante t.

Aplicamos la segunda ley de Newton sobre el elemento (m es la masa del elemento) max = T (x + ∆x) cos θ(x + ∆x) − T (x) cos θ(x) may = T (x + ∆x) sin θ(x + ∆x) − T (x) sin θ(x) (1) (2)

´ Hipotesis (1): amplitudes y(x, t) peque˜as: n θ 0/c < 0) Ejemplo: f (x, t) = (x − 2t)2

• g(x, t) = g(x + ct) es tambien soluci´n (se propaga hacia la iz. si c > 0) o • Si f1(x, t) y f2(x, t) sonsoluciones, cualquier combinaci´n lineal de la o forma f = Af1 + Bf2 tambien es soluci´n (Principio de Superposici´n) o o ´ • Solucion general de la E.O.: u(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct)

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´ ´ ´ Analisis de la ecuacion de ondas: soluciones armonicas Son de la forma: u(x, t) = u0 cos{k(x ± ct) + φ} o • Son soluci´n ∀k y φ • Son ondas peri´dicas en espacio: o u(x+ 2π 2π , t) = u0 cos{k(x+±ct)} = u0 cos{k(x±ct)+2π} = u(x, t) k k λ=

2π , (Longitud de onda) k • Son ondas peri´dicas en tiempo: o u(x, t+ 2π 2π ) = u0 cos{k(x±c(t+ )} = u0 cos{k(x±ct)+2π} = u(x, t) kc kc T= •ω= 2π , kc (Per´ ıodo de la onda)

2π (Frecuencia de la onda) T λ ω • = =c T k Forma exponencial compleja

Por lo general trabajaremos con la forma compleja (siempre recordando que es una cantidad f´ ısica real):u(x, t) = A ei(kx±ωt)

u(x, t) = {u0 eiφ ei(kx±ωt)}

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Cuerda vibrante: ondas estacionarias (1) • La cuerda se encuentra fija por los extremos x = 0 y x = l • Condiciones de contorno:

y(0, t) = y(l, t) = 0,

∀t

• Perfiles de la forma f (x − ct) o g(x + ct) no pueden ser soluci´n, dado o que dichos perfiles deben anularse en los extremos, i.e., f = g = 0. • Probaremos confunciones arm´nicas de la forma: o y(x, t) = A cos(kx − ωt + φ) + B cos(kx + ωt) • Imponemos una de las condiciones de contorno y(0, t) = 0, ∀t : y(0, t) = A cos(−ωt + φ) + B cos ωt = = A cos ωt cos φ + A sin φ sin ωt + B cos ωt = = (A cos φ + B) cos ωt + A sin φ sin ωt = 0, ∀t • La ultima ecuaci´n es una igualdad funcional, no algebraica, y debe ´ o cumplirse en cualquier instante de tiempo (∀t). • Enparticular, para t = 0 y para t = π/2ω: t = 0 : A cos φ + B = 0 π t= : A sin φ = 0 2ω • De la segunda ecuaci´n, tenemos dos opciones: o A = 0 → B = 0 → sol. trivial, o φ = 0, → B = −A (11)

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Cuerda vibrante: ondas estacionarias (2) • Finalmente tenemos y(x, t) = A {cos(kx − ωt) − cos(kx + ωt)} = 2A sin kx sin ωt (12) • Ahora imponemos la segunda condici´n de contorno (y(l, t) = 0, ∀t): oy(l, t) = 2A sin kl sin ωt = 0, ∀t • De nuevo, esta ecuaci´n debe cumplirse para todo t: o sin kl = 0 −→ kl = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ (n ∈ Z) nπ • Modos normales: kn = l 2l • Longitudes de onda permitidas: λn = n nπc • Frecuencias permitidas: ωn = l • Frecuencia fundamental: ω0 = πc π = l l T , es decir: ρ (13)

ωn = nω0 • Si T ↑, entonces ω0 ↑ • Si ρ ↓, entonces ω0 ↑ • Si l ↓, entonces ω0 ↑ •Modos normales: yn(x, t) = A sin nπx sin (nω0t) l

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Cuerda vibrante: ondas estacionarias (3) yn(x, t) = A sin nπx sin (nω0t) l T = 1.0, ρ = 1.0 (15)

Ejemplo A = 2.0, π ω0 = l T ρ
1/2

l = 10.0,

=

π ∼ 0.3142, 10

T0 =

2π = 20.0 (per´ ıodo fundamental) ω0

t = 4.375
2 1

y

n=1
0 −1 −2 2 1 0 2 4 6 8 10

y

n=2
0 −1 −2 2 1 0 2 4 6 8 10

y

n=3
0 −1 −2 02 4 6 8 10

x

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Energ´ y Potencia transmitidas por las ondas (1) ıa Calculemos la densidad de energ´ cin´tica y potencial por unidad de longiıa e tud en la cuerda vibrante: • Cin´tica e ηcin • Potencial 1 ∆m 2 1 ∆m = vtransversal = 2 ∆x 2 ∆x ∂y ∂t
2

∂y 1 = ρ 2 ∂t

2

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La tensi´n de la cuerda se debe a su elasticidad, por lo tanto debemos o esperar que dicha tensi´n...